Inlämningsuppgift Modul 6

Inlämningsdatum 9 okt 2023 av 23.59
Poäng 1
Lämnar in en filuppladdning
Filtyper pdf
Tillgänglig efter 3 okt 2023 kl 0:00

Instruktioner

Om du är godkänd på både denna inlämningsuppgift och deltar aktivt i tillhörande seminarium bidrar det till bonuspoäng på del A på den avslutande skriftliga tentan på det sätt som beskrivs här.

Syfte

Inlämningsuppgifterna är ett tillfälle att

repetera och tillämpa det du lärt dig i modulen
öva dig i att lösa matematiska problem
öva dig i att skriva lösningar på ett bra sätt
få feedback på din lösningar

Hur lösningarna ska vara utformade

Du ska lämna in svar och fullständiga lösningar, där det tydligt framgår hur du har resonerat och vilka satser och metoder du har använt dig av. Var noga med att resonemangen är logiskt riktiga. Skriv tydligt, med fullständiga meningar, och var precis och kortfattad. Tänk dig att du skriver lösningen för en av dina kamrater på kursen, det vill säga, lösningen skall vara lätt att följa för någon med samma förkunskaper som du själv har. Titta i kurslitteraturen hur lösningar presenteras där.

Du kan skriva för hand med papper och penna, eller med skrivprogram på datorn. Om du använder dator och skrivprogram, ska du använda de speceilla verktyg som finns för att skriva matematiska symboler (t ex Equation Editor i Word eller LaTeX)

Det är tillåtet att diskutera med andra studenter om uppgifterna, men var och en ska självständigt formulera sina lösningar. Att skriva av andra studenters lösningar betraktas som fusk.

Hur du laddar upp dina lösningar

När du är klar ska du ladda upp dina lösningar via CANVAS.

Har du använt ett skrivprogram på datorn sparar du din fil i pdf-format.
Om du har lösningarna på papper, använd t ex appen SwiftScan för att scanna lösningarna till en pdf-fil med din telefon/surfplatta. Observera att du ska lämna in dina lösningar samlade i en pdf-fil.

Klicka sedan på knappen "Starta uppgift" här uppe till höger på sidan, en fönster för uppladdning dyker då upp i nedre delen av sidan, där du kan ladda upp din pdf-fil. Om du har svårt att ladda upp filen från mobilen kan du behöva skicka/dela den till din dator och ladda upp den därifrån.

Bedömning och hur du ser ditt resultat

För att bli godkänd på inlämningsuppgiften krävs att du har gjort ett seriöst försök att lösa uppgifterna enligt instruktionerna ovan. Det krävs också att du har deltagit aktivt i hela det tillhörande seminariet. Speciellt får du inte komma för sent eller gå i förtid ifrån seminariet om du ska bli godkänd.

Resultatet kan du se i menyn Omdömen i menyn till vänster, Är du godkänd har du 1 bonusupoäng, annars 0 bonuspoäng.

Uppgifter

Lös ekvationerna

(a) $LaTeX: e^{2x} + e^x = 6$ $e^{2x} + e^x = 6$

(b) $LaTeX: \left( \ln x \right)^2 = \ln x^2 - \ln x$ $\left( \ln x \right)^2 = \ln x^2 - \ln x$
En lösnings surhetsgrad anges med pH-värdet. Detta definieras som $LaTeX: \mathrm{pH} = - \lg [H^+]$ $\mathrm{pH} = - \lg [H^+]$ , där $[H^+]$ betecknar vätejonskoncentrationen mätt i mol/liter, och $LaTeX: \lg$ $\lg$ betecknar logaritmen med bas 10.

En lösning med pH-värde 7 kallas neutral, om pH-värdet är mindre än 7 är lösningen sur och om pH-värdet är större än 7 är lösningen basisk

Lösning A är neutral. Lösning B har en koncentration av vätejoner som är 10 gånger större än den i lösning A, och lösning C har en koncentration av vätejoner som är 100 gånger större än den i lösning A.

Bestäm pH-värdena för lösning B och lösning C.
Bevisa att $LaTeX: \log_a b \cdot \log_b c =\log_a c$ $\log_a b \cdot \log_b c =\log_a c$ för alla $LaTeX: a>0\text{ och } a\ne 1,b>0\text{ och } b\ne 1 \text{ samt } c>0.$ $a>0\text{ och } a\ne 1,b>0\text{ och } b\ne 1 \text{ samt } c>0.$
Ange största möjliga reella definitionsmängd $D$ till funktionen $LaTeX: h(x)= \dfrac{1+x}{1-x}$ $h(x)= \dfrac{1+x}{1-x}$ , och bestäm också tillhörande värdemängd $V$ .

Visa att funktionen $LaTeX: h: D \rightarrow V$ $h: D \rightarrow V$ är inverterbar.

Bestäm också inversfunktionen $LaTeX: h^{-1}$ $h^{-1}$ , och ange definitionsmängd och värdemängd för $LaTeX: h^{-1}$ $h^{-1}$ .

Verifiera slutligen att $LaTeX: h \left( h^{-1} (x) \right) = x$ $h \left( h^{-1} (x) \right) = x$ och $LaTeX: h^{-1} \left( h (x) \right) = x$ $h^{-1} \left( h (x) \right) = x$ för alla $x$ där respektive sammansatt funktion är definierad.
Du undervisar i Matematik 5 på gymnasiet, och dina elever har fått i uppgift att bestämma den funktion $y(x)$ som uppfyller differentialekvationen $LaTeX: \frac{dy}{dx} = xy$ $\frac{dy}{dx} = xy$ . En elev har helt riktigt kommit fram till att en sådan lösning $y(x)$ måste uppfylla sambandet
$LaTeX: \ln \left| y(x) \right| = \frac{x^2}{2} + C$ $\ln \left| y(x) \right| = \frac{x^2}{2} + C$ för någon reell konstant $C$ .
Hur bedömmer du elevens forsatta resonemang, som visas här nedanför?

Vi har kommit fram till att $LaTeX: \ln \left| y(x) \right| = \frac{x^2}{2} + C$ $\ln \left| y(x) \right| = \frac{x^2}{2} + C$ .
Om jag tar e upphöjt till får jag $LaTeX: |y(x)| = e^{x^2/2} + e^C$ $|y(x)| = e^{x^2/2} + e^C$ .
Alltså är $LaTeX: y(x) = e^{x^2/2} + D, D>0.$ $y(x) = e^{x^2/2} + D, D>0.$