Inlämningsuppgift Modul 5

Instruktioner

Om du är godkänd på både denna inlämningsuppgift och deltar aktivt i tillhörande seminarium  bidrar det till bonuspoäng på del A på den avslutande skriftliga tentan på det sätt som beskrivs här.  

Syfte

Inlämningsuppgifterna är ett tillfälle att 

• repetera och tillämpa det du lärt dig i modulen
• öva dig i att lösa matematiska problem
• öva dig i att skriva lösningar på ett bra sätt
• få feedback på din lösningar

Hur lösningarna ska vara utformade

Du ska lämna in svar och fullständiga lösningar, där det tydligt framgår hur du har resonerat och  vilka satser och metoder du har använt dig av. Var noga med att resonemangen är logiskt riktiga. Skriv tydligt, med fullständiga meningar, och var precis och kortfattad. Tänk dig att du skriver lösningen för en av dina kamrater på kursen, det vill säga, lösningen skall vara lätt att följa för någon med samma förkunskaper som du själv har. Titta i kurslitteraturen hur lösningar presenteras där. 

Du kan skriva för hand med papper och penna, eller med skrivprogram på datorn. Om du använder dator och skrivprogram, ska du använda de speceilla verktyg som finns för att skriva matematiska symboler (t ex Equation Editor i Word eller LaTeX)

Det är tillåtet att diskutera med andra studenter om uppgifterna, men var och en ska självständigt formulera sina lösningar. Att skriva av andra studenters lösningar betraktas som fusk. 

Hur du laddar upp dina lösningar

När du är klar ska du ladda upp dina lösningar via CANVAS. 

Har du använt ett skrivprogram på datorn sparar  du din fil i pdf-format. 
Om du har lösningarna på papper, använd  t ex appen SwiftScan för att scanna lösningarna till en pdf-fil med din telefon/surfplatta.  Observera att du ska lämna in dina lösningar samlade i en pdf-fil. 

Klicka sedan på knappen "Starta uppgift" här uppe till höger på sidan, en fönster för uppladdning dyker då upp i nedre delen av sidan, där du kan  ladda upp din pdf-fil. Om du har svårt att ladda upp filen från mobilen kan du behöva skicka/dela den till din dator och ladda upp den därifrån.

Bedömning och hur du ser ditt resultat

För att bli godkänd på inlämningsuppgiften krävs att du har gjort ett seriöst försök att lösa  uppgifterna enligt instruktionerna ovan. Det krävs också att du har deltagit aktivt i hela det tillhörande seminariet. Speciellt får du inte komma för sent eller gå i förtid ifrån seminariet om du ska bli godkänd.  

Resultatet kan du se i menyn Omdömen i menyn till vänster, Är du godkänd har du 1 bonusupoäng, annars 0 bonuspoäng. 

Uppgifter

1. Skriv följande komplexa tal på formen $a + ib$

   (a)  $\left( \frac{1}{2} - 2i \right) \left( 3 - \frac{1}{3}i \right)$
   
   (b)  $\dfrac{\frac{1}{2} - 2i }{ 3 - \frac{1}{3}i }$

2. Beräkna  $\frac{\left(-1 +i \right)^{12}}{\left( 1 +i \sqrt{3} \right)^7}$

3. Beräkna $(1- i)^5$

   (a) genom att använda binomialsatsen; 

   (b) genom att använda polär form. 

4. (a) Ekvationen $z^6 = 1$ har precis sex lösningar i det komplexa talplanet. Bestäm dessa!

   (b) Visa i en figur hur lösningarna till ekvationen $z^6 = 1$ ligger i det komplexa talplanet.

   (c) Visa att det finns en lösning $\omega$ till ekvationen $z^6 = 1$ som är sådana att mängden av alla lösningarna ges av $z_0=\omega^0$, $z_1=\omega^1$, $z_2=\omega^2$, $z_3=\omega^3$,$z_4=\omega^4$ och $z_5=\omega^5$.

   d) Formulera motsvarande påstående för det generella fallet med lösningar till ekvationen $z^n= 1$, där $n$ är ett positivt heltal. (En lösning till $z^n= 1$ kallas en enhetsrot av ordning $n$.)

5. Bestäm alla komplexa lösningar till ekvationen

   $z^3 -6iz^2-11z + 6i=0$ ,

   då man vet att $z=i$ är en lösning.

6. Du ska ge dina elever ett prov på komplexa tal och polynom.
   Konstruera ett fjärdegrads polynom $p(z)$ med reella koefficienter sådant att ekvationen $p(z) = 0$ har $z= 2i$ som en av sina lösningar. 
   ALT: Konstruera en fråga som prövar om dina elever har förstått att icke-reella lösningar till polynomekvationer med reella koefficienter alltid kommer som komplexkonjugerade par.