Inlämningsuppgift 1

Instruktioner

Om du är godkänd på både denna inlämningsuppgift och på Quiz 1 får du en bonuspoäng till del A på den asvlutande skriftliga tentan.  Bounspoängen gäller under innevarande läsår vid ordinarie tentamen och vid omtentamen.

Syfte

Inlämningsuppgifterna är ett tillfälle att 

• repetera och tillämpa det du lärt dig i modulen
• öva dig i att lösa matematiska problem
• öva dig i att skriva lösningar på ett bra sätt
• få feedback på din lösningar

Hur lösningarna ska vara utformade

Du ska lämna in svar och fullständiga lösningar, där det tydligt framgår hur du har resonerat och  vilka satser och metoder du har använt dig av. Var noga med att resonemangen är logiskt riktiga. Skriv tydligt, med fullständiga meningar, och var precis och kortfattad. Tänk att du skriver lösningen för en av dina kamrater på kursen, det vill säga, lösningen skall vara lätt att följa för någon med samma förkunskaper som du själv har. Titta i kurslitteraturen hur lösningar presenteras där. 

Du kan skriva för hand med papper och penna, eller med skrivprogram på datorn. Om du använder dator och skrivprogram, ska du använda de speceilla verktyg som finns för att skriva matematiska symboler (t ex Equation Editor i Word eller LaTeX)

Det är tillåtet att diskutera med andra studenter om uppgifterna, men var och en ska självständigt formulera sina lösningar. Att skriva av andra studenters lösningar betraktas som fusk. 

Hur du laddar upp dina lösningar

När du är klar ska du ladda upp dina lösningar via CANVAS. 

Har du använt ett skrivprogram på datorn sparar  du din fil i pdf-format. 
Om du har lösningarna på papper, använd appen SwiftScan för att scanna lösningarna till en pdf-fil med din telefon/surfplatta. Läs här om hur du scannar. Observera att du ska lämna in dina lösningar samlade i en pdf-fil. 

Använd sedan knappen "Skicka in uppgift" här uppe till höger på sidan för att ladda upp din pdf-fil. Om du har svårt att ladda upp filen från mobilen kan du behöva skicka/dela den till din dator och ladda upp den därifrån.

Bedömning och hur du ser ditt resultat

För att bli godkänd på inlämningsuppgiften krävs att du har gjort ett seriöst försök att lösa samtliga uppgifter enligt instruktionerna ovan, inklusive den avslutande reflektionsfrågan. Kom ihåg att syftet med uppgifterna är att du ska få feedback dina lösningar och på det sättet utveckla din förmåga att lösa matematiska problem och att kommunicera dessa lösningar. 

Resultatet kan du se i menyn Omdömen i menyn till vänster, "Färdiga" betyder att du är godkänd, "Ofullständiga" att du är underkänd. 

Uppgifter

1. (a) Ett visst naturligt tal $n$ skrivs i bas åtta som $n=612 _{\text{åtta}}$. Uttryck $n$ i bas tio.
   (b)  Uttryck talet $n = 345_{\text{tio}}$ i bas sex.

2. Skriv upp additionstabellen och multiplikationstabellen för talen 0, 1, 2, och 3 i bas fyra, och beräkna sedan med hjälp av dessa
   $\text{a)} \quad 13_{\text{fyra}} + 32_{\text{fyra}} \quad\quad \text{b)} \quad 13_{\text{fyra}} \cdot 32_{\text{fyra}}$
   
   

3. Avgör vilka av följande implikationer och ekvivalenser som är sanna då $x \in \mathbb{R}$.

   $x \le 3 \implies x < 2 \\ x = 7 \implies x \le 7 \\ x\le - 7 \implies x < - 7 \text{ och } x= -7 \\ x\le - 7 \implies x < - 7 \text{ eller } x= -7 \\ x\le - 7 \impliedby x < - 7 \text{ eller } x= -7 \\ 2x= 10 \iff x=5 \\\sqrt{x+1} = x \iff x+1 =x^2$

4. Låt

   $J = \{ n \in \mathbb{N} : 2 | n \} \quad\text{och}\quad T=\{ n \in \mathbb{N} : 3 | n \}.$

   (Skrivsättet $k | n$ betyder ''$k$ delar $n$'', dvs att $k$ är en faktor i $n$.)

   Ange de fyra minsta elementen i $J \cup T$, $J\cap T$ samt $J\setminus T$.

5. Formulera och bevisa de Morgans lagar.

6. En elev har fått följande uppgift:

   Förenkla uttrycket $\dfrac{\left(x^2 -1 \right)^2}{\left(x +1 \right)^2}$. 
   

   Hur bedömmer du följande lösning?
   $\dfrac{\left(x^2 -1 \right)^2}{\left(x +1 \right)^2} \implies \dfrac{\left( (x+1)(x-1) \right)^2}{\left(x +1 \right)^2} \implies \dfrac{ (x+1)^2(x-1)^2 }{\left(x +1 \right)^2} = (x-1)^2$

7. Formulera Goldbachs förmodan och Goldbachs förmodan i svag form. Visa sedan att om Goldbachs förmodan är sann, så är också Goldbachs förmodan i svag form sann som en direkt konsekvens av detta.
   
   (Goldbachs förmodan är till dags datum inte bevisad. Däremot bevisades Goldbachs förmodan i svag form för några år sedan på annat sätt, det beviset är mycket långt och komplicerat och kräver expertkunskaper för att kunna förstås.)
   
   

   Reflektionsfråga:  Nu har det gått en vecka utav kursen. Summera dina intryck om undervisningen och matematiken.
   - Hur många timmars arbete har du ägnat åt kursen  under vecka 35, inklusive  schemalagd undervisning och eget arbete?
   -Vad tycker du har varit roligast med kursen hitintills?
   - Vad har varit svårast? Är det något du har funderat på?
   - Berätta om något du har lärt dig som du inte kunde tidigare.
   - Hur tycker du att undervisningen fungerar? Har du förslag på förändringar?
   - Är det något annat du har funderat på?