Inlämningsuppgift 6

Instruktioner

Om du är godkänd på både denna inlämningsuppgift och på Quiz 6 får du en bonuspoäng till del A på den avslutande skriftliga tentan.  Bounspoängen gäller under innevarande läsår vid ordinarie tentamen och vid omtentamen.

Hur lösningarna ska vara utformade

Du ska lämna in svar och fullständiga lösningar till alla uppgifter, där det tydligt framgår hur du har resonerat och  vilka satser och metoder du har användt dig av. Skriv så att även någon som inte är insatt i problemet, men har samma förkunskaper som du har, kan följa din lösningn.  Skriv tydligt, med fullständiga meningar, men var precis och kortfattad. 

Du kan skriva för hand med papper och penna, eller med skrivprogram på datorn. Om du använder dator och skrivprogram, ska du använda de speceilla verktyg som finns för att skriva matematiska symboler (t ex Equation Editor i Word eller LaTeX)

Det är tillåtet att diskutera med andra studenter om uppgifterna, men var och en ska självständigt formulera sina lösningar. Att skriva av andra studenters lösningar betraktas som fusk. 

Om inlämning, rättning och bedömning.

Du ska lämna in dina lösningar samlade i en pdf-fil. Använd knappen "Skicka in uppgift" för att ladda upp dina fil. 

Om du har lösningen på papper behöver du scanna in den innan du kan ladda upp. Läs här om hur du scannar.Länkar till en externa sida.

Lärarna kommer att välja ut en uppgift för bedömning, För godkänt resultat (''Färdiga'') krävs att den utvalda uppgiften är godkänd och att du har besvarat den avslutande reflektionsfrågan.  

Uppgifter

1.  Lös ekvationerna 

   (a) $e^{2x} + e^x = 6$
   
   (b)  $\left( \ln x \right)^2 = \ln x^2 - \ln x$

    

2.  En lösnings surhetsgrad anges med pH-värdet. Detta definieras som $\mathrm{pH} = - \lg [H^+]$, där $[H^+]$ betecknar vätejonskoncentrationen mätt i mol/liter, och $\lg$ betecknar logaritmen med bas 10.

   En lösning med pH-värde 7 kallas neutral, om pH-värdet är mindre än 7 är lösningen sur och om pH-värdet är större än 7 är lösningen basisk

   Lösning A är neutral. Lösning B har en koncentration av vätejoner som är 10 gånger större än den i lösning A, och lösning C har en koncentration av vätejoner som är 100 gånger större än den i lösning A.
   
   Bestäm pH-värdena för lösning B och lösning C. 
   
   

3. För vilka värden på $a$, $b$, och $c$ är det sant att  $\log_a b \cdot \log_b c =\log_a c$ ?
   Som vanligt ska du bevisa ditt påstående.
   
   
4. Ange största möjliga  reella definitionsmängd $D$ till funktionen $h(x)= \dfrac{1+x}{1-x}$ , och bestäm också tillhörande värdemängd $V$.
   
   Visa att  funktionen $h: D \rightarrow V$ är inverterbar.
   
   Bestäm också inversfunktionen $h^{-1}$, och ange definitionsmängd och värdemängd för  $h^{-1}$.
   
   Verifiera slutligen att $h \left( h^{-1} (x) \right) = x$ och $h^{-1} \left( h (x) \right) = x$ för alla $x$ där respektive sammansatt funktion är definierad.
   
   

5. Funktionen $L : (0, \infty ) \rightarrow V$ är en bijektion.  Vi vet också  att $L$ uppfyller följande tre räknelagar för alla $x,y \in (0, \infty)$,

   $\mathrm{(I)}\quad L(xy) = L(x) + L(y) , \quad \mathrm{(II)} \quad L\left( \dfrac{x}{y} \right) = L(x )- L(y), \quad \mathrm{(III)}\quad L\left( x^r \right)= r L(x) , \, r\in \mathbb{R} .$

   Låt $E : V \rightarrow (0,\infty)$ vara inversfunktionen till $L$ . Visa att $E$ uppfyller de tre räknelagarna

   $\mathrm{(1)} \quad E(x+y)=E(x)E(y), \quad \mathrm{(2)} \quad E(x-y)=\dfrac{E(x)}{E(y)}, \quad \mathrm{(3)} \quad E(rx) = \left(E(x)\right)^r,$

   för alla $x,y \in V$ och alla $r$ sådana att $rx \in V$.
   
   

6. Låt $A: (0 , \infty) \rightarrow V$ var den funktion som ges av
   
   $A(x) = \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t^2 +t}} \, dt$ ,
   där $V$ betecknar värdemänden till $A$ .

   (a) Förklara varför $A$ verkligen uppfyller definitionen för en funktion.
   (b) Lös ekvationen $A(x) = 0$ samt olikheterna $A(x) > 0$ och $A(x) < 0$ .
   (c) Visa att funktionen $A$ är inverterbar . 

    

Reflekterande frågor

- Hur många timmars arbete har du ägnat åt kursen  under vecka 40, inklusive  schemalagd undervisning och eget arbete?

Summera dina intryck från femte kursveckan om undervisningen och matematiken. Skriv en kort löpande text där du tar upp frågor som t ex

- Vad tycker du har varit roligast eller intressantast?

- Vad har varit svårast? Är det något du har funderat på?

- Berätta om något du har lärt dig som du inte kunde tidigare.

- Hur tycker du att undervisningen fungerar? Har du förslag på förändringar?

- Är det något annat du har funderat på?

Du behöver inte besvara alla frågor i tur och ordning, se dem instäälet som inspiration och vägledning. Det viktiga är att du själv reflekterar över vad du har lärt dig och  över ditt arbete med kursen, och sedan redovisar dessa tankar.