Inlämningsuppgift 1

Instruktioner

Om du är godkänd på både denna inlämningsuppgift och på Quiz 1 får du en bonuspoäng till del A på den asvlutande skriftliga tentan.  Bounspoängen gäller under innevarande läsår vid ordinarie tentamen och vid omtentamen.

Hur lösningarna ska vara utformade

Du ska lämna in svar och fullständiga lösningar till alla uppgifter, där det tydligt framgår hur du har resonerat och  vilka satser och metoder du har användt dig av. Skriv så att även någon som inte är insatt i problemet, men har samma förkunskaper som du har, kan följa din lösningn.  Skriv tydligt, med fullständiga meningar, men var precis och kortfattad. 

Du kan skriva för hand med papper och penna, eller med skrivprogram på datorn. Om du använder dator och skrivprogram, ska du använda de speceilla verktyg som finns för att skriva matematiska symboler (t ex Equation Editor i Word eller LaTeX)

Det är tillåtet att diskutera med andra studenter om uppgifterna, men var och en ska självständigt formulera sina lösningar. Att skriva av andra studenters lösningar betraktas som fusk. 

Om inlämning, rättning och bedömning.

Du ska lämna in dina lösningar samlade i en pdf-fil. Använd knappen "Skicka in uppgift" för att ladda upp dina fil. 

Om du har lösningen på papper behöver du scanna in den innan du kan ladda upp. Läs här om hur du scannar.

Lärarna kommer att välja ut en uppgift för bedömning, För godkänt resultat (''Färdiga'') krävs att den utvalda uppgiften är godkänd och att du har besvarat den avslutande reflektionsfrågan.  

Uppgifter

1. (a) Ett visst naturligt tal $n$ skrivs i bas åtta som $n=612 _{\text{åtta}}$. Uttryck $n$ i bas tio.
   (b)  Uttryck talet $n = 345_{\text{tio}}$ i bas sex.

2. Skriv upp additionstabellen och multiplikationstabellen för talen 0, 1, 2, och 3 i bas fyra, och beräkna sedan med hjälp av dessa
   $\text{a)} \quad 13_{\text{fyra}} + 32_{\text{fyra}} \quad\quad \text{b)} \quad 13_{\text{fyra}} \cdot 32_{\text{fyra}}$
   
   

3. Avgör vilka av följande implikationer och ekvivalenser som är sanna då $x \in \mathbb{R}$.

   $x \le 3 \implies x < 2 \\ x = 7 \implies x \le 7 \\ x\le - 7 \implies x < - 7 \text{ och } x= -7 \\ x\le - 7 \implies x < - 7 \text{ eller } x= -7 \\ x\le - 7 \impliedby x < - 7 \text{ eller } x= -7 \\ 2x= 10 \iff x=5 \\\sqrt{x+1} = x \iff x+1 =x^2$

4. Låt

   $J = \{ n \in \mathbb{N} : 2 | n \} \quad\text{och}\quad T=\{ n \in \mathbb{N} : 3 | n \}.$

   (Skrivsättet $k | n$ betyder ''$k$ delar $n$'', dvs att $k$ är en faktor i $n$.)

   Ange de fyra minsta elementen i $J \cup T$, $J\cap T$ samt $J\setminus T$.

5. Formulera och bevisa de Morgans lagar.

6. En elev har fått följande uppgift:

   Förenkla uttrycket $\dfrac{\left(x^2 -1 \right)^2}{\left(x +1 \right)^2}$. 
   

   Hur bedömmer du följande lösning?
   $\dfrac{\left(x^2 -1 \right)^2}{\left(x +1 \right)^2} \implies \dfrac{\left( (x+1)(x-1) \right)^2}{\left(x +1 \right)^2} \implies \dfrac{ (x+1)^2(x-1)^2 }{\left(x +1 \right)^2} = (x-1)^2$

7. Formulera Goldbachs förmodan och Goldbachs förmodan i svag form. Visa sedan att om Goldbachs förmodan är sann, så är också Goldbachs förmodan i svag form sann som en direkt konsekvens av detta.
   
   (Goldbachs förmodan är till dags datum inte bevisad. Däremot bevisades Goldbachs förmodan i svag form för några år sedan på annat sätt, det beviset är mycket långt och komplicerat och kräver expertkunskaper för att kunna förstås.)
   
   

   Reflektionsfråga:  Nu har det gått en vecka utav kursen. Summera dina intryck om undervisningen och matematiken.
   - Hur många timmars arbete har du ägnat åt kursen  under vecka 35, inklusive  schemalagd undervisning och eget arbete?
   -Vad tycker du har varit roligast med kursen hitintills?
   - Vad har varit svårast? Är det något du har funderat på?
   - Berätta om något du har lärt dig som du inte kunde tidigare.
   - Hur tycker du att undervisningen fungerar? Har du förslag på förändringar?
   - Är det något annat du har funderat på?