To access this site, you must enable JavaScript.

Övningar

Detta schema är preliminärt och kan komma att ändras under kursens gång.

Övningarna sker på plats enligt schemat i TimeEdit. Nedan hittar ni vilken övningsassistenterna som kommer vara i de respektive salarna. Under schemalagd övningstid kommer övningsassistenterna att gå igenom och räkna övningsuppgifter. Alternativt kan de svara på frågor kring övnings- och hemuppgifterna. Inför varje övning kommer lösningsförslag på övningsuppgifterna att laddas upp. Uppgifter och lösningsförslag hittar ni under motsvarande övningstillfälle nedan. Övningarna kommer inte att spelas in.

Vi rekommenderar att ni försöker räkna hemuppgifterna och använder övningstillfället till att be om hjälp ifall det är något ni fastnat på.

Det finns även en diskussionstråd där ni kan ställa frågor. Denna är öppen även efter övningens slut, men övningsassistenterna svarar främst på frågor under övningens schemalagda tid.

David: V22

Victor: V21

Lösningar till några uppgifter finns här Links to an external site. (Youtube-lista av Frida Svelander som varit övningsassistent tidigare)

Zill x betyder uppgift x i "9th edition" i Zill,

Sauer x.y.z betyder exercise z i kapitel x.y i Sauer,

Sauer comp. x.y.z betyder computer problem z i kapitel x.y i Sauer.

Övning 1, 24/3

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: David_övning_1_20210324.pdf Download David_övning_1_20210324.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Linjär/icke-linjär DE	Zill: 1.1.4, 1.1.6	Zill: 1.1.3, 1.1.5
IVP	Zill: 1.2.18	Zill: 1.2.21
Modeller		Zill: 1.3.9, 1.3.17
Fasporträtt	Zill: 2.1.21	Zill: 2.1.25, 2.1.38, 2.1.39
Variabelsep.	Zill: 2.2.19, 2.2.24	Zill: 2.2.5, 2.2.17
Int. fakt.	Zill: 2.3.6	Zill: 2.3.5, 2.3.17

Övning 2, 25/3

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: David_övning_2_20210326.pdf Download David_övning_2_20210326.pdf

, sc_6_1_3.m Download sc_6_1_3.m, sc_6_1_5.m Download sc_6_1_5.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Linjära modeller	Zill: 3.1.4	Zill: 3.1.5, 3.1.13, 3.1.21
Icke-linjära modeller	Zill: 3.2.3	Zill: 3.2.9
System av DE	Zill: 3.3.9	Zill: 3.3.7, 3.3.10
Differenskvoter	Sauer: 5.1.2, 5.1.8	Sauer: 5.1.1, 5.1.10
Euler	Sauer: 6.1.4a, 6.1.6a	Sauer: 6.1.2, 6.1.5
	Sauer comp.: 6.1.3, 6.1.5	Sauer comp.: 6.1.1, 6.1.4

sauer613.m Download sauer613.m

Enligt förfrågan kommer koden från min övning ovan.

Övning 3, 30/3

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: ovning3.pdf Download ovning3.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Teori linjära ekvationer	Zill: 4.1.14, 4.1.23	Zill: 4.1.13, 4.1.25
Reducering av ordning	Zill: 4.2.9	Zill: 4.2.13
Homogena linjära ekvationer med konstant koefficienter	Zill: 4.3.5, 4.3.31, 4.3.59	Zill: 4.3.3, 4.3.9, 4.3.29, 4.3.49, 4.3.53, 4.3.60

Övning 4, 1/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning4.pdf Download Övning4.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Eulers metod	Sauer: 6.3.1 (a)	Sauer: 6.3.1 (b,c,d)
Reducering av ordning	Sauer: 6.3.3	Sauer: 6.3.5
MATLAB: Eulers metod	Sauer comp.: 6.3.1	Projekt 1: U2

Övning 5, 6/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning5.pdf Download Övning5.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Obestämda koefficienter	Zill: 4.4.6, 4.4.33	Zill: 4.4.7, 4.4.35
Variation av parametrar	Zill: 4.6.11	Zill: 4.6.15
Teori för linjära system	Zill: 8.1.25	Zill: 8.1.5, 8.1.9, 8.1.17
Homogena linjära system	Zill: 8.2.13, 8.2.23, 8.2.39	Zill: 8.2.7, 8.2.21, 8.2.35

Övning 6, 8/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning6.pdf Download Övning6.pdf, Övning6_euler.m Download Övning6_euler.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Inhomogena linjära system	Zill: 8.3.13, 8.3.16	Zill: 8.3.9, 8.3.25
Stabilitetsvillkor Euler framåt	Se uppgiftstext nedan	Sauer: 6.6.1, Projekt 1, U3.

Uppgift Stabilitetsvillkor Euler framåt: För systemet,

$LaTeX: X\:'\:=\:AX$ $X\:'\:=\:AX$ , där $LaTeX: A\:=\:\binom{-11\:\:\:\:2\:}{-3\:\:-4}$ $A\:=\:\binom{-11\:\:\:\:2\:}{-3\:\:-4}$ ,

beräkna stabilitetsvillkoret för Euler framåt. Implementera Euler bakåt för systemet med initialvillkor $LaTeX: X\left(0\right)=\left[4\:7\right]^T$ $X\left(0\right)=\left[4\:7\right]^T$ , fram till tiden T=2.

Jämför de numeriska resultaten med h=h_max och h=h_max/10 med analytisk lösning, där h_max är tidssteget på stabilitetsgränsen för Euler framåt. Är de numeriska lösningarna stabila? Är de noggranna?

Övning 7, 11/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: övning7.pdf Download övning7.pdf, sc_7_2_1.m Download sc_7_2_1.m, sc_7_2_1_konvergens.m Download sc_7_2_1_konvergens.m, sc_7_2_6.m Download sc_7_2_6.m, extrauppgift_ovning_7.m Download extrauppgift_ovning_7.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Randvärdesproblem	Zill: 4.1.11, 5.2.1, 5.2.29	Zill: 4.1.12, 5.2.2, 5.2.3, 5.2.30
Finita differensmetoden	Sauer comp.: 7.2.1, 7.2.6	Sauer comp.: 7.2.2, 7.2.3
	Se uppgiftstext nedan.

Uppgift: Diskretisera med finita differensmetoden och implementera RVP $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = 4 x^{2}$ $y''\:+\:3y'\:+\:2y\:=\:4x^2$ $y$ ″ + 3 y ′ + 2 y = 4 x 2för $0 \leq x \leq 1$ $0\:\le x\le1$ $0$ ≤ x ≤ 1 med randvillkoren $y (0) = 9$ $y\left(0\right)\:=\:9$ $y$ ( 0 ) = 9, $y (1) = 3 + 2 e^{- 2}$ $y\left(1\right)\:=\:3+2e^{-2}$ $y$ ( 1 ) = 3 + 2 e − 2. Använd centrala FD för första- och andra-derivatorna. Gör en konvergensstudie och beräkna felen i maxnorm och i l2-norm jämfört med den analytiska lösningen. Verifiera att noggrannhetsordningen blir som förväntat.

Övning 8, 12/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: övning_8.pdf Download övning_8.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Autonoma system	Zill: 10.1.1, 10.1.2, 10.1.7, 10.1.9	Zill: 10.1.4, 10.1.5, 10.1.10, 10.1.15
Stabilitet för linjära system	Zill: 10.2.1a), 10.2.4a), 10.2.5a), 10.2.9, 10.2.17	Zill: 10.2.2a), 10.2.7a), 10.2.11, 10.2.13, 10.2.19

Övning 9, 14/4

På Övning 9 har vi extra labbhandledning, i övningssalarna enl. schemat.

Övning 10, 27/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Ovning_10.pdf Download Ovning_10.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Stabilitet för icke-linjära system	Zill: 10.3.1, 10.3.7, 10.3.13, 10.3.17	Zill: 10.3.9, 10.3.15, 10.3.19, 10.3.21, 10.3.31

Övning 11, 29/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Ovning_11.pdf Download Ovning_11.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Ortogonala funktioner	Zill: 11.1.1	Zill: 11.1.3, 11.1.9, 11.1.12
Fourierserier	Zill: 11.2.5, 11.2.13	Zill: 11.2.7, 11.2.11
Cosinus- och sinus-serier	Zill: 11.3.7, 11.3.15	Zill: 11.3.9
Sturm-Liouville problem		Zill: 11.4.3

Övning 12, 3/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning12.pdf Download Övning12.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Separabla PDE	Zill: 12.1.3	Zill: 12.1.7, 12.1.9
Klassiska PDE och RVP	Zill: 12.2.5	Zill: 12.2.1
Värmeledningsekvationen	Zill: 12.3.1, 12.3.3	Zill: 12.3.5, 12.3.7
Vågekvationen	Zill: 12.4.5, 12.4.7	Zill: 12.4.3
Laplaces ekvation		Zill: 12.5.1

Övning 13, 5/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning13.pdf Download Övning13.pdf, sc_8_1_2a.m Download sc_8_1_2a.m, sc_8_1_2b.m Download sc_8_1_2b.m, sc_8_1_4a.m Download sc_8_1_4a.m, sc_8_1_4b.m Download sc_8_1_4b.m, extrauppgifter_ovning13.m Download extrauppgifter_ovning13.m, sc_8_1_2_david.m Download sc_8_1_2_david.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Finita differensmetoden för PDEer	Sauer: 8.1.2, Sauer comp.: 8.1.2, 8.1.4	Sauer: 8.1.1, Sauer comp.: 8.1.1
	Se uppgiftstexter nedan.

Uppgift 1: Studera värmeledningsekvationen $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\:t>0,\:0\le x\le1$ $\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\:t>0,\:0\le x\le1$ , med initialvillkor $LaTeX: u\left(x,0\right)=\cos\left(\pi x\right),\:0\le x\le1$ $u\left(x,0\right)=\cos\left(\pi x\right),\:0\le x\le1$ , och randvillkor $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial x}\left(0,t\right)=0,\:\frac{\partial u}{\partial x}\left(1,t\right)=0.1t$ $\frac{\partial u}{\partial x}\left(0,t\right)=0,\:\frac{\partial u}{\partial x}\left(1,t\right)=0.1t$ , för $LaTeX: t\ge0$ $t\ge0$ . Diskretisera ekvationen för ett godtyckligt N antal intervall i rummet. Använd centrala differenser för andraderivatan och framåt/bakåt-differenser för randvillkoren. Implementera med Euler framåt i tiden.

Uppgift 2: Utgå från Uppgift 1 och undersök dess stabilitet... a) teoretiskt (beräkna egenvärden numeriskt). Vad blir dt_max för antal rumssteg M=10,100,1000? b) numeriskt genom att köra kod och välja dt så att CFL-villkoret är uppfyllt/ej uppfyllt.

Övning 14, 11/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning_14.pdf Download Övning_14.pdf, sc_2_7_1a.m Download sc_2_7_1a.m, sc_2_7_1b.m Download sc_2_7_1b.m, sc_2_7_1c.m Download sc_2_7_1c.m, sc_6_6_1a.m Download sc_6_6_1a.m, sc_6_6_1b.m Download sc_6_6_1b.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Newtons metod för system	Sauer: 2.7.1, 2.7.4a, Sauer comp.: 2.7.1
Implicita metoder för icke-linjära system	Sauer comp.: 6.6.1

Övning 15, 13/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning_15.pdf Download Övning_15.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Fourierintegraler	Zill: 14.3.1, 14.3.7	Zill: 14.3.5
Fouriertransformer	Zill: 14.4.3, 14.4.6, 14.4.15	Zill: 14.4.2, 14.4.16

Övning 16, 17/5

Länk till diskussionsforum.

Extentor:

Tenta Del1 180817 Links to an external site.