Föreläsning VT 2020

• Kursöversikt
• Introduktion till differentialekvationer (DE)
• Initialvärdesproblem (IVP)
• Fasporträtt och riktningsfält

• F1_video2 (intro till DE)
• F1_video3 (IVP)
• F1_video4 (fasporträtt och riktningsfält )

• F1_ex1
• F1_ex2

• riktningsfalt_kod Download riktningsfalt_kod

• F1_slides

• Diskussion Föreläsning 1

• I exemplet för fasporträtt i F1_video4, antar vi att både a och b är positiva - vilket jag glömde nämna.

• Förstaordningens DE
• Separabla och linjära DE
• DE som matematiska modeller

• F2_video2 (variabelseparation)
• F2_video3 (integrerande faktor, linjära DE)
• F2_video4 (matematiska modeller)

• F2_ex1 (OBS fel i steg3, se errata!)
• F2_ex2

• I F2_video3, skrev jag fel i produktregeln. Det borde vara $\frac{d}{dx}\left(\mu y\right)=\mu\frac{dy}{dx}+y\frac{d\mu}{dx}$
• I F2_ex1,  gjorde jag ett litet fel i steg 3, där jag missade att förkorta en faktor 1/2. Jag la till ett par steg till och skrev det lite utförligare här Download här .

• Numerisk derivering
• Euler's metod för IVP
• Globala och lokala fel

Zill: 2.6, 9.1

Sauer: 5.1.1-5.1.2, 6.1-6.3

• F3_video1 (information, numerisk derivering)
• F3_video2 (Euler's metod för IVP)
• F3_video3 (Globala/Lokala fel)

• F3_ex1 (numerisk derivering)
• F3_ex2 (Euler's metod)
• F3_ex3 (MATLAB exempel Euler's metod)  

• Högre ordningens DE
• Omskrivning till  system av ordning 1
• Metoder för lösning av DE och IVP

Zill : 4.1-4.3

Sauer :  6.3

• F4_video1 (Introduktion, högre ordningens DE)
• F4_video2 (ordnings reduktion, karakteristisk ekvation)
• F4_video3 (omskrivning till system)

• F4_ex1 (unik lösning)
• F4_ex2 (linjära oberoende lösningar)
• F4_ex3 (karakteristiska ekvationen)
• F4_ex4 (omskrivning till system)

• I F4_ex2 borde jag säga vilket intervall vår DE är definierad på. I det här fallet är  $I=\left(0,\infty\right)$.

• Homogena system av första ordningens linjära DE
• Lösningsmetoder för dessa

Zill :  8.1-8.2

• F5_video1 (system av ordning 1, homogena system)
• F5_video2 (lösningsmetod för homogena system)

• F5_ex1 (linjärt oberoende lösningar)
• F5_ex2 (lösning av homogena system)

• Inhomogena DE av högre ordningen
• Inhomogena system av första ordningens linjära DE
• Lösningsmetoder för dessa

Zill : 4.4,4.6,8.3

• F6_video1 (inhomogena DE)
• F6_video2 (obestämda koefficienter)
• F6_video3 (variation a parametrar)

• F6_ex1 (skalära DE, obestämda koefficienter)
• F6_ex2 (system av DE, obestämda koefficienter)
• F6_ex1_varpar (skalära DE, variation av parametrar)

• I F6_video2 blev det fel i Exempel 2 för diff.ekvationen jämfört med F6_ex2. Sista termen i ekvationen borde vara +7 och inte + y.

• Stabilitet för numeriska metoder för IVP
• Implicita metoder för IVP
• Euler bakåt

Sauer 6.6

• F7_video1 (Stabilitet av numeriska metoder)
• F7_video2 (Stabilitet för Euler Framåt)
• F7_video3 (Euler Bakåt)

• F7_ex1 (Stabilitet för Euler Framåt)
• F7_ex2 (Euler Bakåt)

• F7_ex1_kod.pdf Download F7_ex1_kod.pdf
• F7_ex2_kod.png Download F7_ex2_kod.png

• Randvärdesproblem (RVP)
• Finita differensmetoden

Zill: 4.1, 5.2

Sauer 7.2

• F8_video1 (Randvärdesproblem)
• F8_video2 (Finita differensmetoden)
• F8_video3 (Noggrannhetsordning)

• F8_ex1 (RVP, unik lösning etc)
• F8_ex2_1 , F8_ex2_2 , F8_ex2_3 (Finita differensmetoden med Dirichlet villkor)
• F8_ex3 (Finita differensmetoden med Neumann villkor)
• F8_ex4 (Noggrannhetsordning)

• F8_ex2.png  Download F8_ex2.png 
• F8_ex3.png Download F8_ex3.png
• F8_ex4.png Download F8_ex4.png

• Första ordningens linjära system av DE: autonoma system
• Kritiska punkter
• Stabilitet

Zill: 10.1-10.2

• F9_video1 (autonoma system, kritiska punkter)
• F9_video2 (stabilitet för linjära system )

• F9_ex1 (kritiska punkter)
• F9_ex2 (stabilitet för linjärasystem)
• F9_ex3 (stabilitet för linjärasystem)

• Första ordningens icke-linjära system av DE: autonoma system
• Linearisering
• Stabilitet (linjär teori och fasplansmetoden)

Zill: 10.3-10.4

• F10_video1 (icke-linjära system, linearisering)
• F10_video2 (stability)

• F10_ex1 (stabilitet med linejär teori)
• F10_ex2 (stabilitet med linjär teori och fasplansmetoden)

• Intro till PDE
• Ortogonala funktioner
• Fourierserier

Zill: 11.1-11.3

• F11_video1 (information, intro till PDE)
• F11_video2 (ortogonala funktioner)
• F11_video3 (Fourierserier)

• F11_ex1 (ortogonala funktioner)
• F11_ex2 (ortogonala set, norm av funktioner)
• F11_ex3 (formel för Fourierkoefficienter)
• F11_ex4 (Fourierserier) 

• Det är ett fel i F11_ex2, vi borde ha  $\Phi_n\left(x\right)\:=\sin\:\left(\left(2n+1\right)x\right)$.

• PDEs, Sturm-Liouville problem
• Separabla PDEer
• Lösning av separabla PDEer med Fourierserier

Zill: 11.4, 12.1-12.5

• F12_video1 (PDEer, Sturm-Liouville problem)
• F12_video2 (Separabla PDEer)
• F12_video3 (lösning av värmeledningsekvationen)

• F12_ex1 (lösning av vågekvationen)
• F12_ex2 (lösning av Laplaces ekvation)

• Diskretisering av PDEer m.h.a. finita differenser
• Framåt Euler och stabilitet 

Zill: 12.1-12.5, 15.2

Sauer: 8.1

• F13_video1 (method of lines, finita differenser)
• F13_video2 (Euler framåt, stabilitet)

• F13_ex1 (finita differenser, semi-diskret system)
• F13_ex2 (Framåt Euler, Matlab-implementation)
• F13_ex3 (Stabilitet)

• Implicita metoder för icke-linjära ODE 
• Metoder av högre noggrannhetsordning för IVP

Sauer: 2.7.1, 6.2.2-6.4, 6.6

• F14_video1 (implicita metoder för icke-linjära, skalära  ODE)
• F14_video2  (implicita metoder för icke-linjära  system  av ODE, Newtons metod för system)
• F14_video3 (högre ordningens explicita metoder)

• F14_ex1_kod.png Download F14_ex1_kod.png
• F14_ex2_kod.png Download F14_ex2_kod.png
• F14_ex3_kod.png Download F14_ex3_kod.png

• Fouriertransformer
• Lösning av PDEer med Fouriertransformer

Zill: 14.3-14.4

• F15_video1 (information, intro Fouriertransformer, periodisk utvidgning)
• F15_video2 (Fourierintegraler)
• F15_video3 (Fouriertransformer)

• F15_ex1 (periodisk utvidgning)
• F15_ex2 (Fouriertransform av derivator)
• F15_ex3 (Värmeledningsekvationen med Fouriertransform)