Inlämningsuppgift 6

Instruktioner

Om du är godkänd på både denna inlämningsuppgift och på Quiz 6 får du en bonuspoäng till del A på den avslutande skriftliga tentan.  Bounspoängen gäller under innevarande läsår vid ordinarie tentamen och vid omtentamen.

Syfte

Inlämningsuppgifterna är ett tillfälle att 

• repetera och tillämpa det du lärt dig i modulen
• öva dig i att lösa matematiska problem
• öva dig i att skriva lösningar på ett bra sätt
• få feedback på din lösningar

Hur lösningarna ska vara utformade

Du ska lämna in svar och fullständiga lösningar, där det tydligt framgår hur du har resonerat och  vilka satser och metoder du har använt dig av. Var noga med att resonemangen är logiskt riktiga. Skriv tydligt, med fullständiga meningar, och var precis och kortfattad. Tänk att du skriver lösningen för en av dina kamrater på kursen, det vill säga, lösningen skall vara lätt att följa för någon med samma förkunskaper som du själv har. Titta i kurslitteraturen hur lösningar presenteras där. 

Du kan skriva för hand med papper och penna, eller med skrivprogram på datorn. Om du använder dator och skrivprogram, ska du använda de speceilla verktyg som finns för att skriva matematiska symboler (t ex Equation Editor i Word eller LaTeX)

Det är tillåtet att diskutera med andra studenter om uppgifterna, men var och en ska självständigt formulera sina lösningar. Att skriva av andra studenters lösningar betraktas som fusk. 

Hur du laddar upp dina lösningar

När du är klar ska du ladda upp dina lösningar via CANVAS. 

Har du använt ett skrivprogram på datorn sparar  du din fil i pdf-format. 
Om du har lösningarna på papper, använd appen SwiftScan för att scanna lösningarna till en pdf-fil med din telefon/surfplatta. Läs här om hur du scannar. Observera att du ska lämna in dina lösningar samlade i en pdf-fil. 

Använd sedan knappen "Skicka in uppgift" här uppe till höger på sidan för att ladda upp din pdf-fil. Om du har svårt att ladda upp filen från mobilen kan du behöva skicka/dela den till din dator och ladda upp den därifrån.

Bedömning och hur du ser ditt resultat

För att bli godkänd på inlämningsuppgiften krävs att du har gjort ett seriöst försök att lösa samtliga uppgifter enligt instruktionerna ovan, inklusive den avslutande reflektionsfrågan. Kom ihåg att syftet med uppgifterna är att du ska få feedback dina lösningar och på det sättet utveckla din förmåga att lösa matematiska problem och att kommunicera dessa lösningar. 

Resultatet kan du se i menyn Omdömen i menyn till vänster, "Färdiga" betyder att du är godkänd, "Ofullständiga" att du är underkänd. 

Uppgifter

1.  Lös ekvationerna 

   (a) $e^{2x} + e^x = 6$
   
   (b)  $\left( \ln x \right)^2 = \ln x^2 - \ln x$

    

2.  En lösnings surhetsgrad anges med pH-värdet. Detta definieras som $\mathrm{pH} = - \lg [H^+]$, där $[H^+]$ betecknar vätejonskoncentrationen mätt i mol/liter, och $\lg$ betecknar logaritmen med bas 10.

   En lösning med pH-värde 7 kallas neutral, om pH-värdet är mindre än 7 är lösningen sur och om pH-värdet är större än 7 är lösningen basisk

   Lösning A är neutral. Lösning B har en koncentration av vätejoner som är 10 gånger större än den i lösning A, och lösning C har en koncentration av vätejoner som är 100 gånger större än den i lösning A.
   
   Bestäm pH-värdena för lösning B och lösning C. 
   
   

3. För vilka värden på $a$, $b$, och $c$ är det sant att  $\log_a b \cdot \log_b c =\log_a c$ ?
   Som vanligt ska du bevisa ditt påstående.
   
   
4. Ange största möjliga  reella definitionsmängd $D$ till funktionen $h(x)= \dfrac{1+x}{1-x}$ , och bestäm också tillhörande värdemängd $V$.
   
   Visa att  funktionen $h: D \rightarrow V$ är inverterbar.
   
   Bestäm också inversfunktionen $h^{-1}$, och ange definitionsmängd och värdemängd för  $h^{-1}$.
   
   Verifiera slutligen att $h \left( h^{-1} (x) \right) = x$ och $h^{-1} \left( h (x) \right) = x$ för alla $x$ där respektive sammansatt funktion är definierad.
   
   

5. Funktionen $L : (0, \infty ) \rightarrow V$ är en bijektion.  Vi vet också  att $L$ uppfyller följande tre räknelagar för alla $x,y \in (0, \infty)$,

   $\mathrm{(I)}\quad L(xy) = L(x) + L(y) , \quad \mathrm{(II)} \quad L\left( \dfrac{x}{y} \right) = L(x )- L(y), \quad \mathrm{(III)}\quad L\left( x^r \right)= r L(x) , \, r\in \mathbb{R} .$

   Låt $E : V \rightarrow (0,\infty)$ vara inversfunktionen till $L$ . Visa att $E$ uppfyller de tre räknelagarna

   $\mathrm{(1)} \quad E(x+y)=E(x)E(y), \quad \mathrm{(2)} \quad E(x-y)=\dfrac{E(x)}{E(y)}, \quad \mathrm{(3)} \quad E(rx) = \left(E(x)\right)^r,$

   för alla $x,y \in V$ och alla $r$ sådana att $rx \in V$.
   
   

6. Låt $A: (0 , \infty) \rightarrow V$ var den funktion som ges av
   
   $A(x) = \int_1^x \frac{1}{\sqrt{t^2 +t}} \, dt$ ,
   där $V$ betecknar värdemänden till $A$ .

   (a) Förklara varför $A$ verkligen uppfyller definitionen för en funktion.
   (b) Lös ekvationen $A(x) = 0$ samt olikheterna $A(x) > 0$ och $A(x) < 0$ .
   (c) Visa att funktionen $A$ är inverterbar . 

    

Reflekterande frågor

- Hur många timmars arbete har du ägnat åt kursen  under vecka 40, inklusive  schemalagd undervisning och eget arbete?

Summera dina intryck från femte kursveckan om undervisningen och matematiken. Skriv en kort löpande text där du tar upp frågor som t ex

- Vad tycker du har varit roligast eller intressantast?

- Vad har varit svårast? Är det något du har funderat på?

- Berätta om något du har lärt dig som du inte kunde tidigare.

- Hur tycker du att undervisningen fungerar? Har du förslag på förändringar?

- Är det något annat du har funderat på?

Du behöver inte besvara alla frågor i tur och ordning, se dem instäälet som inspiration och vägledning. Det viktiga är att du själv reflekterar över vad du har lärt dig och  över ditt arbete med kursen, och sedan redovisar dessa tankar.