Du måste aktivera JavaScript för att få tillgång till den här sidan.

Övningar

Detta schema är preliminärt och kan komma att ändras under kursens gång.

Övningarna ges onlinebaserat via Zoom. Under schemalagd övningstid kommer en av de tre övningsassistenterna gå igenom och räkna övningsuppgifter och de andra två finnas tillgängliga för att svara på frågor kring övnings- och hemuppgifterna. Inför varje övning kommer lösningsförslag på övningsuppgifterna att laddas upp. Uppgifter, lösningsförslag samt vem som har genomgång hittar ni under motsvarande övningstillfälle nedan. Som det ser ut nu kommer övningarna inte att spelas in.

Vi rekommenderar att ni försöker räkna hemuppgifterna och använder övningstillfället till att be om hjälp ifall det är något ni fastnat på.

Det finns även en diskussionstråd där ni kan ställa frågor. Denna är öppen även efter övningens slut, men övningsassistenterna svarar främst på frågor under övningens schemalagda tid.

För sista övningen i kursen, övning 16, gäller

David: https://kth-se.zoom.us/j/9457212017 Links to an external site. Frågestund efter quiz

Rafael: https://kth-se.zoom.us/j/9469485353 Links to an external site. Frågestund efter quiz

Johanna: https://kth-se.zoom.us/j/61538394348 Links to an external site. Frågestund efter quiz

Lösningar till några uppgifter finns här Links to an external site. (Youtube-lista av Frida Svelander som var övningsassistent förra året)

Zill x betyder uppgift x i "9th edition" i Zill,

Sauer x.y.z betyder exercise z i kapitel x.y i Sauer,

Sauer comp. x.y.z betyder computer problem z i kapitel x.y i Sauer.

Övning 1, 24/3

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: David_övning_1_20210324.pdf Download David_övning_1_20210324.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Linjär/icke-linjär DE	Zill: 1.1.4, 1.1.6	Zill: 1.1.3, 1.1.5
IVP	Zill: 1.2.18	Zill: 1.2.21
Modeller		Zill: 1.3.9, 1.3.17
Fasporträtt	Zill: 2.1.21	Zill: 2.1.25, 2.1.38, 2.1.39
Variabelsep.	Zill: 2.2.19, 2.2.24	Zill: 2.2.5, 2.2.17
Int. fakt.	Zill: 2.3.6	Zill: 2.3.5, 2.3.17

Övning 2, 26/3

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: David_övning_2_20210326.pdf Download David_övning_2_20210326.pdf

, sc_6_1_3.m Download sc_6_1_3.m, sc_6_1_5.m Download sc_6_1_5.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Linjära modeller	Zill: 3.1.4	Zill: 3.1.5, 3.1.13, 3.1.21
Icke-linjära modeller	Zill: 3.2.3	Zill: 3.2.9
System av DE	Zill: 3.3.9	Zill: 3.3.7, 3.3.10
Differenskvoter	Sauer: 5.1.2, 5.1.8	Sauer: 5.1.1, 5.1.10
Euler	Sauer: 6.1.4a, 6.1.6a	Sauer: 6.1.2, 6.1.5
	Sauer comp.: 6.1.3, 6.1.5	Sauer comp.: 6.1.1, 6.1.4

Övning 3, 30/3

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Lösningsförslag_övning3

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Teori linjära ekvationer	Zill: 4.1.14, 4.1.23	Zill: 4.1.13, 4.1.25
Reducering av ordning	Zill: 4.2.9	Zill: 4.2.13
Homogena linjära ekvationer med konstant koefficienter	Zill: 4.3.5, 4.3.31, 4.3.59	Zill: 4.3.3, 4.3.9, 4.3.29, 4.3.49, 4.3.53, 4.3.60

Övning 4, 1/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Lösningsförslag_övning4

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Eulers metod	Sauer: 6.3.1 (a)	Sauer: 6.3.1 (b,c,d)
Reducering av ordning	Sauer: 6.3.3	Sauer: 6.3.5
MATLAB: Eulers metod	Sauer comp.: 6.3.1	Projekt 1: U2

Övning 5, 13/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning5.pdf Download Övning5.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Obestämda koefficienter	Zill: 4.4.6, 4.4.33	Zill: 4.4.7, 4.4.35
Variation av parametrar	Zill: 4.6.11	Zill: 4.6.15
Teori för linjära system	Zill: 8.1.25	Zill: 8.1.5, 8.1.9, 8.1.17
Homogena linjära system	Zill: 8.2.13, 8.2.23, 8.2.39	Zill: 8.2.7, 8.2.21, 8.2.35

Övning 6, 16/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning6.pdf Download Övning6.pdf , Ovning6_euler.m Download Ovning6_euler.m (Framåt Euler stabil om h<1/5, fel i första uppladdningen)

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Inhomogena linjära system	Zill: 8.3.13, 8.3.16	Zill: 8.3.9, 8.3.25
Stabilitetsvillkor Euler framåt	Se uppgiftstext nedan	Sauer: 6.6.1, Projekt 1, U3.

Uppgift Stabilitetsvillkor Euler framåt: För systemet,

$LaTeX: X\:'\:=\:AX$ $X\:'\:=\:AX$ , där $LaTeX: A\:=\:\binom{-11\:\:\:\:2\:}{-3\:\:-4}$ $A\:=\:\binom{-11\:\:\:\:2\:}{-3\:\:-4}$ ,

beräkna stabilitetsvillkoret för Euler framåt. Implementera Euler bakåt för systemet med initialvillkor $LaTeX: X\left(0\right)=\left[4\:7\right]^T$ $X\left(0\right)=\left[4\:7\right]^T$ , fram till tiden T=2.

Jämför de numeriska resultaten med h=h_max och h=h_max/10 med analytisk lösning, där h_max är tidssteget på stabilitetsgränsen för Euler framåt. Är de numeriska lösningarna stabila? Är de noggranna?

Övning 7, 20/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: David_övning_7_20210420.pdf Download David_övning_7_20210420.pdf

, sc_7_2_1.m Download sc_7_2_1.m, sc_7_2_1_konvergens.m Download sc_7_2_1_konvergens.m, sc_7_2_6.m, Download sc_7_2_6.m, extrauppgift_ovning_7.m Download extrauppgift_ovning_7.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Randvärdesproblem	Zill: 4.1.11, 5.2.1, 5.2.29	Zill: 4.1.12, 5.2.2, 5.2.3, 5.2.30
Finita differensmetoden	Sauer comp.: 7.2.1, 7.2.6	Sauer comp.: 7.2.2, 7.2.3
	Se uppgiftstext nedan.

Uppgift: Diskretisera med finita differensmetoden och implementera RVP $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = 4 x^{2}$ $y''\:+\:3y'\:+\:2y\:=\:4x^2$ $y$ ″ + 3 y ′ + 2 y = 4 x 2för $0 \leq x \leq 1$ $0\:\le x\le1$ $0$ ≤ x ≤ 1 med randvillkoren $y (0) = 9$ $y\left(0\right)\:=\:9$ $y$ ( 0 ) = 9, $y (1) = 3 + 2 e^{- 2}$ $y\left(1\right)\:=\:3+2e^{-2}$ $y$ ( 1 ) = 3 + 2 e − 2. Använd centrala FD för första- och andra-derivatorna. Gör en konvergensstudie och beräkna felen i maxnorm och i l2-norm jämfört med den analytiska lösningen. Verifiera att noggrannhetsordningen blir som förväntat.

Övning 8, 21/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag:

David_övning_8_20210421_uppdaterad.pdf Download David_övning_8_20210421_uppdaterad.pdf
(rekommenderas)
David_övning_8_20210421.pdf Download David_övning_8_20210421.pdf
(som ovan fast presenterade på ett annat sätt)

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Autonoma system	Zill: 10.1.1, 10.1.2, 10.1.7, 10.1.9	Zill: 10.1.4, 10.1.5, 10.1.10, 10.1.15
Stabilitet för linjära system	Zill: 10.2.1a), 10.2.4a), 10.2.5a), 10.2.9, 10.2.17	Zill: 10.2.2a), 10.2.7a), 10.2.11, 10.2.13, 10.2.19

Övning 9, 23/4

På Övning 9 har vi extra labbhandledning. Vi ger hjälp enligt instruktionerna på sidan om Laborationer.

Övning 10, 27/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Ovning_10.pdf Download Ovning_10.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Stabilitet för icke-linjära system	Zill: 10.3.1, 10.3.7, 10.3.13, 10.3.17	Zill: 10.3.9, 10.3.15, 10.3.19, 10.3.21, 10.3.31

Övning 11, 29/4

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Ovning_11.pdf Download Ovning_11.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Ortogonala funktioner	Zill: 11.1.1	Zill: 11.1.3, 11.1.9, 11.1.12
Fourierserier	Zill: 11.2.5, 11.2.13	Zill: 11.2.7, 11.2.11
Cosinus- och sinus-serier	Zill: 11.3.7, 11.3.15	Zill: 11.3.9
Sturm-Liouville problem		Zill: 11.4.3

Övning 12, 4/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning12.pdf Download Övning12.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Separabla PDE	Zill: 12.1.3	Zill: 12.1.7, 12.1.9
Klassiska PDE och RVP	Zill: 12.2.5	Zill: 12.2.1
Värmeledningsekvationen	Zill: 12.3.1, 12.3.3	Zill: 12.3.5, 12.3.7
Vågekvationen	Zill: 12.4.5, 12.4.7	Zill: 12.4.3
Laplaces ekvation		Zill: 12.5.1

Övning 13, 5/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: Övning13.pdf Download Övning13.pdf

sc_8_1_2a.m Download sc_8_1_2a.m

sc_8_1_2b.m Download sc_8_1_2b.m sc_8_1_4a.m Download sc_8_1_4a.m sc_8_1_4b.m Download sc_8_1_4b.m extrauppgifter_ovning13.m Download extrauppgifter_ovning13.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Finita differensmetoden för PDEer	Sauer: 8.1.2, Sauer comp.: 8.1.2, 8.1.4	Sauer: 8.1.1, Sauer comp.: 8.1.1
	Se uppgiftstexter nedan.

Uppgift 1: Studera värmeledningsekvationen $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\:t>0,\:0\le x\le1$ $\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\:t>0,\:0\le x\le1$ , med initialvillkor $LaTeX: u\left(x,0\right)=\cos\left(\pi x\right),\:0\le x\le1$ $u\left(x,0\right)=\cos\left(\pi x\right),\:0\le x\le1$ , och randvillkor $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial x}\left(0,t\right)=0,\:\frac{\partial u}{\partial x}\left(1,t\right)=0.1t$ $\frac{\partial u}{\partial x}\left(0,t\right)=0,\:\frac{\partial u}{\partial x}\left(1,t\right)=0.1t$ , för $LaTeX: t\ge0$ $t\ge0$ . Diskretisera ekvationen för ett godtyckligt N antal intervall i rummet. Använd centrala differenser för andraderivatan och framåt/bakåt-differenser för randvillkoren. Implementera med Euler framåt i tiden.

Uppgift 2: Utgå från Uppgift 1 och undersök dess stabilitet... a) teoretiskt (beräkna egenvärden numeriskt). Vad blir dt_max för antal rumssteg M=10,100,1000? b) numeriskt genom att köra kod och välja dt så att CFL-villkoret är uppfyllt/ej uppfyllt.

Övning 14, 10/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: David_övning_14_20210510.pdf Download David_övning_14_20210510.pdf

, sc_2_7_1a.m Download sc_2_7_1a.m, sc_2_7_1b.m Download sc_2_7_1b.m, sc_2_7_1c.m Download sc_2_7_1c.m, sc_6_6_1a.m Download sc_6_6_1a.m, sc_6_6_1b.m Download sc_6_6_1b.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Newtons metod för system	Sauer: 2.7.1, 2.7.4a, Sauer comp.: 2.7.1
Implicita metoder för icke-linjära system	Sauer comp.: 6.6.1

Övning 15, 11/5

Länk till diskussionsforum.

Lösningsförslag: David_övning_15_20210511.pdf Download David_övning_15_20210511.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Fourierintegraler	Zill: 14.3.1, 14.3.7	Zill: 14.3.5
Fouriertransformer	Zill: 14.4.3, 14.4.6, 14.4.15	Zill: 14.4.2, 14.4.16

Övning 16, 17/5

Länk till diskussionsforum.

Extentor.

Problem1 Problem2 Problem3a Problem3b Problem4 Problem5a Problem5b

Tenta Del1 180817 Links to an external site.