Inlämningsuppgift 5

Instruktioner

Om du är godkänd på både denna inlämningsuppgift och på Quiz 5 får du en bonuspoäng till del A på den avslutande skriftliga tentan.  Bounspoängen gäller under innevarande läsår vid ordinarie tentamen och vid omtentamen.

Hur lösningarna ska vara utformade

Du ska lämna in svar och fullständiga lösningar till alla uppgifter, där det tydligt framgår hur du har resonerat och  vilka satser och metoder du har användt dig av. Skriv så att även någon som inte är insatt i problemet, men har samma förkunskaper som du har, kan följa din lösningn.  Skriv tydligt, med fullständiga meningar, men var precis och kortfattad. 

Du kan skriva för hand med papper och penna, eller med skrivprogram på datorn. Om du använder dator och skrivprogram, ska du använda de speceilla verktyg som finns för att skriva matematiska symboler (t ex Equation Editor i Word eller LaTeX)

Det är tillåtet att diskutera med andra studenter om uppgifterna, men var och en ska självständigt formulera sina lösningar. Att skriva av andra studenters lösningar betraktas som fusk. 

Om inlämning, rättning och bedömning.

Du ska lämna in dina lösningar samlade i en pdf-fil. Använd knappen "Skicka in uppgift" för att ladda upp dina fil. 

Om du har lösningen på papper behöver du scanna in den innan du kan ladda upp. Läs här om hur du scannar.Länkar till en externa sida.

Lärarna kommer att välja ut en uppgift för bedömning, För godkänt resultat (''Färdiga'') krävs att den utvalda uppgiften är godkänd och att du har besvarat den avslutande reflektionsfrågan.  

Uppgifter

1. Skriv följande komplexa tal på formen $a + ib$

   (a)  $\left( \frac{1}{2} - 2i \right) \left( 3 - \frac{1}{3}i \right)$
   
   (b)  $\dfrac{\frac{1}{2} - 2i }{ 3 - \frac{1}{3}i }$

2. Beräkna  $\frac{\left(-1 +i \right)^{12}}{\left( 1 +i \sqrt{3} \right)^7}$

3. Beräkna $(1- i)^5$

   (a) genom att använda binomialsatsen; 

   (b) genom att använda de Moivres formel. 

4. Finns det något polynom $f$ av grad $n$,
   
   $f(z)= a_n z^n + a_{n-1}z^{n-1}+ \dots + a_1 z + a_0 , \quad a_i \in \mathbb{C}, i=1,2, \dots ,n ,$

   sådant att

   (a) $f$ har oändligt många nollställen i det komplexa talplanet ?

   (b) $f$ har ändlig många men fler än $n$ nollställen i det komplexa talplanet ?

   (c) $f$ har precis $n$ olika nollställen i det komplexa talplanet?

   (d) $f$ har färre än $n$ stycken olika nollställen i det komplexa talplanet?

   (e) $f$ har precis ett nollställe i det komplexa talplanet?

   (f) $f$ saknar nollställen i det komplexa talplanet?

   Ge i vart av fallen exempel på ett sådant polynom eller förklara varför något sådant polynom inte finns. Du kan själva välja gradtalet $n$ i dina exempel.

5. (a) Ekvationen $z^6 = 1$ har precis sex lösningar i det komplexa talplanet. Bestäm dessa!

   (b) Visa i en figur hur lösningarna till ekvationen $z^6 = 1$ ligger i det komplexa talplanet.

   (c) Visa att det finns en lösning $\omega$ till ekvationen $z^6 = 1$ som är sådana att mängden av alla lösningarna ges av $z_0=\omega^0$, $z_1=\omega^1$, $z_2=\omega^2$, $z_3=\omega^3$,$z_4=\omega^4$ och $z_5=\omega^5$.

   d) Formulera motsvarande påstående för det generella fallet med lösningar till ekvationen $z^n= 1$, där $n$ är ett positivt heltal. (En lösning till $z^n= 1$ kallas en enhetsrot av ordning $n$.)

6. Bestäm alla komplexa lösningar till ekvationen

   $z^3 -6iz^2-11z + 6i=0$ ,

   då man vet att $z=i$ är en lösning.

Reflekterande frågor

- Hur många timmars arbete har du ägnat åt kursen  under vecka 39, inklusive  schemalagd undervisning och eget arbete?

Summera dina intryck från femte kursveckan om undervisningen och matematiken. Skriv en kort löpande text där du tar upp frågor som t ex

- Vad tycker du har varit roligast eller intressantast?

- Vad har varit svårast? Är det något du har funderat på?

- Berätta om något du har lärt dig som du inte kunde tidigare.

- Hur tycker du att undervisningen fungerar? Har du förslag på förändringar?

- Är det något annat du har funderat på?

Du behöver inte besvara alla frågor i tur och ordning, se dem instäälet som inspiration och vägledning. Det viktiga är att du själv reflekterar över vad du har lärt dig och  över ditt arbete med kursen, och sedan redovisar dessa tankar.