Tabell över ungefärliga tvåpotenser:

-----------------------------------------------------------------------
1 2 3  4  5  6   7   8   9   10   11   12   13    14    15    16     17
-----------------------------------------------------------------------
2 4 8 16 32 64 128 250 500 1000 2000 4000 8000 16000 32000 64000 130000 
-----------------------------------------------------------------------

Mål:

Känna till vad som karakteriserar ett problemträd (specialfall av graf).
Kunna rita upp de första noderna i ett problemträd utgående från en problembeskrivning.
Kunna avgöra när breddenförstsökning respektive djupetförstsökning kan användas för att lösa ett problem, och vilken som är lämpligast.
Kunna beskriva breddenförstsökning respektive djupetförstsökning för ett givet problem.
Kunna implementera breddenförstsökning och djupetförstsökning.
Kunna tillämpa algoritmer för sortering, samt räkna på tidskomplexiteten för ett givet problem

Här finns många uppgifter att öva på! Vi väljer ut några av dessa på övningen.

Problemträd: breddenförst och djupetförst

Strykord
Ordet orkan är ett strykord eftersom man kan stryka sista bokstaven om och om igen och bara få riktiga ord. orkan - orka - ork - or - o Uppgiften är att finna det längsta strykordet i svenska språket. Ordlistan finns på fil. Rita problemträdet och jämför olika tänkbara algoritmer.

lösning
Sjuor till hundra

Det gäller att skriva talet 100 med enbart sjuor och dom fyra räknesätten, till exempel så här.
```
7 +7 /7 *7 *7 = 98 
```
Det var ett gott försök som inte nådde ända fram. För att man ska få använda / måste divisionen gå jämnt ut. Rita problemträdet och diskutera bästa algoritm för att avgöra OM problemet är lösbart. Om man dessutom vill veta hur lösningen ser ut krävs en mer komplicerad datastruktur. Beskriv den och skissa ett program.

lösning
Labyrint

Tilda går ensam omkring i en labyrint, hennes kompisar har redan hittat ut. Det finns gångar och korsningar. En del gångar är blindgångar. Vid varje korsning kan man gå åt höger eller vänster alternativt gå tillbaka dit man kom ifrån. Tilda bestämmer sig för att hålla till höger i varje korsning tills hon hittar utgången. Vad kallas en sådan sökalgoritm? Väl hemma bestämmer sig Tilda för att skriva ett program som hittar vägen genom en labyrint. Vad behöver man för datastrukturer för att implementera en sådan algoritm?

animation av labyrint
Taltävling

Under sommaren har det gått en tävling i radio där det gäller att så snabbt som möjligt hitta ett tal som uppfyller två villkor. Första villkoret, som gäller hela tävlingen, är att siffrorna i talet måste vara strikt stigande (23578 är OK men inte 235578 eller 23587). Andra villkoret är nytt för varje dag och kan t ex vara att talet ska vara ett primtal, jämnt delbart med 599 eller en tvåpotens. Beskriv utförligt en breddenförst- eller djupetförstsökning (effektivare metod ger fler poäng) som hittar det minsta talet som uppfyller villkoren. Vilka klasser och metoder behövs?
Patiens

I patiensen "Rutan" använder man bara ess, kungar, damer och knektar, alltså sexton kort. Det gäller att lägga ut korten i en 4x4-matris så att två kort av samma färg eller valör aldrig finns i samma rad, kolumn eller någon av de båda diagonalerna. Man vill att ett program ska skriva ut alla lösningar till patiensen på nedanstående sätt.
```
      hj E   sp D   kl Kn  ru K
      kl K   ru Kn  hj D   sp E
      ru D   kl E   sp K   hj Kn
      sp Kn  hj K   ru E   kl D
```
Du behöver inte skriva programkod, men du ska förklara algoritmen utförligt och beskriva datastrukturer, metoder och klasser.
Sudoku

Sudoku är ett spel som består av ett rutnät på 9x9 rutor, uppdelat i nio 3x3-rutor. Rutnätet har n siffror ifyllda från början och det gäller att fylla varje rad, varje kolumn och varje 3x3-ruta med siffrorna 1-9. En siffra får aldrig förekomma mer än en gång per rad, kolumn och 3x3-ruta. Beskriv en algoritm som hittar en lösning till ett givet Sudoku-problem, och tala om hur algoritmen skulle kunna implementeras.
Pokémontränaren

Du är så uppskattad i ditt arbete som pokémontränare att du kan välja och vraka bland erbjudandena. Givet ett antal förslag (anbudsgivare, startdag, slutdag, arvode) vill du planera nästa månad så att den blir så lönsam som möjligt. Rita först upp problemträdet (roten och några noder i de första två nivåerna räcker). Föreslå en algoritm som finner det schema som ger störst inkomster. Motivera ditt val av algoritm och beskriv hur du skulle implementera algoritmen.
Aliententan 2015-03-20, uppgift 5 (betyg E)

När rymdvarelserna reser använder de sig av maskhål (Einstein-Rosen-brygga aka wormhole) vilka förbinder två platser i rymden. De har en förteckning (graf) över vilka platser som är förbundna med varandra (det kan finnas fler än ett maskhål vid en plats). För att räkna ut en rymdfärdplan med så få maskhålsanvändningar som möjligt använder de följande algoritm tillsammans med maskhålsförteckningen samt en kö.
- 1) Lägg startmaskhålet tillsammans med en tom föräldrareferens i en kö
- 2) Plocka ut nästa maskhål och föräldrareferens ur kön och
- 3) Om detta är destinationsmaskhålet:
  - a) Skicka föräldrareferens och maskhålet till en rekursiv färdutskriftsmetod som skriver ut reshoppsvägen:
  - b) Avsluta
- 4) Annars:
  - a) Slå upp vilka andra maskhål som är förbundna med detta maskhål och lägg respektive nytt maskhål tillsammans med en föräldrareferens till detta maskhål i kön
- 5) Upprepa från punkt 2.
Rymdvarelserna berättar att algoritmen fungerar ibland men ibland är det som att de bara hoppar runt mellan samma platser utan att komma fram.
- Vad är det som är problemet med deras algoritm?
- Förbättra algoritmen så att problemet löses!
- Vad kallas algoritmen?
SL-tentan 2014-03-18, uppgift 2 (betyg E)

Paris pendel- och tunnelbana är ett virrvarr av olika stationer som står i förbindelse med varandra. Beskriv översiktligt en effektiv algoritm som räknar ut en resväg från en station till en annan med så få stationsstopp som möjligt. Att byta tåg på en station räknas som samma station.

Sortering

LÖNAR SEJ SORTERING (Tildatenta 4 april 1997)
En miljon dumbolotter säljs var månad. För varje lott sparas lottnumret och köparen i ett objekt. En lista med en miljon objekt finns alltså i datorn vid dragningen, då tusen vinstnummer slumpas fram, ett efter ett.
För varje nummer måste hela listan letas igenom, eftersom den är osorterad. Hur många jämförelser får man räkna med totalt? Lönar det sej att först sortera listan, en gång för alla?

lösning
HOPPFULL SORTERING
Höjdhoppsfederationens databas över världens alla höjdhoppstävlingsresultat består av objekt med bland annat fälten datum, plats, höjd (cm), hoppare och rivit/klarat. På skivminnet ligger objekten i datumordning, men man vill sortera om dom i resultatordning, nämligen klarade hopp före rivna och höga hopp före låga.
Vilken sorteringsmetod är bäst? Motivera utförligt.

lösning
TJUGONDAG KNUT KASTAS JULEN UT (Tildtenta 16 januari 2001)
För att kontrollera sanningen i detta talesätt har man i en fil samlat tre miljoner datum för svenska julgranars utkastning. Man vill veta mediandatum, alltså det datum då hälften av granarna slängts ut, ut, ut och hälften ännu står gröna och granna i stugan.
Rangordna följande sex föreslagna metoder efter deras effektivitet. Binärsökning, hashning, insättningssortering, distributionsräkning, djupet-först-sökning, trappsortering (heap sort).

lösning
SKATTEREGISTRET
Riksskatteverkets databas med nio miljoner svenskar finns sorterad på efternamn. Man vill sortera om den på personnummer. Hur många jämförelser krävs med quicksort? Hur många med den bästa metoden?

lösning