Övningsräkningar

Övningsräkningarna består av schemalagda sessioner på plats som leds av kursassistenterna. Dessa går igenom och valda övningsuppgifter, det finns öven utrymme för eget arbete där kursassistenter finns tillgängliga för att svara på frågor kring övnings- och hemuppgifterna. Uppgifter med lösningsförslag hittar ni under motsvarande övningstillfälle nedan. Lösningar till några uppgifter finns även här Links to an external site. (Youtube-lista av Frida Svelander som tidigare varit kursassistent).

Vi rekommenderar att ni försöker räkna hemuppgifterna och använder övningstillfället till att be om hjälp ifall det är något ni fastnat på.

Zill x betyder uppgift x i "9th edition" i Zill,
Sauer x.y.z betyder exercise z i kapitel x.y i Sauer,
Sauer comp. x.y.z betyder computer problem z i kapitel x.y i Sauer.

Övning 1, 23/3

Lösningsförslag: Ovning_1.pdf Download Ovning_1.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Linjär/icke-linjär DE	Zill: 1.1.4, 1.1.6	Zill: 1.1.3, 1.1.5
IVP	Zill: 1.2.18	Zill: 1.2.21
Modeller		Zill: 1.3.9, 1.3.17
Fasporträtt	Zill: 2.1.21	Zill: 2.1.25, 2.1.38, 2.1.39
Variabelsep.	Zill: 2.2.19, 2.2.24	Zill: 2.2.5, 2.2.17
Int. fakt.	Zill: 2.3.6	Zill: 2.3.5, 2.3.17

Övning 2, 24/3

Lösningsförslag: Ovning_2.pdf Download Ovning_2.pdf

MATLAB filer: sc_6_1_3.m Download sc_6_1_3.m, sc_6_1_5.m Download sc_6_1_5.m, sauer6_1_3a.m Download sauer6_1_3a.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Linjära modeller	Zill: 3.1.4	Zill: 3.1.5, 3.1.13, 3.1.21
Icke-linjära modeller	Zill: 3.2.3	Zill: 3.2.9
System av DE	Zill: 3.3.9	Zill: 3.3.7, 3.3.10
Differenskvoter	Sauer: 5.1.2, 5.1.8	Sauer: 5.1.1, 5.1.10
Euler	Sauer: 6.1.4a, 6.1.6a	Sauer: 6.1.2, 6.1.5
	Sauer comp.: 6.1.3, 6.1.5	Sauer comp.: 6.1.1, 6.1.4

Övning 3, 29/3

Lösningsförslag: Ovning_3.pdf Download Ovning_3.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Teori linjära ekvationer	Zill: 4.1.14, 4.1.23	Zill: 4.1.13, 4.1.25
Reducering av ordning	Zill: 4.2.9	Zill: 4.2.13
Homogena linjära ekvationer med konstant koefficienter	Zill: 4.3.5, 4.3.31, 4.3.59	Zill: 4.3.3, 4.3.9, 4.3.29, 4.3.49, 4.3.53, 4.3.60

Övning 4, 31/3

Lösningsförslag: Ovning_4.pdf Download Ovning_4.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Eulers metod	Sauer: 6.3.1 (a)	Sauer: 6.3.1 (b,c,d)
Reducering av ordning	Sauer: 6.3.3	Sauer: 6.3.5
MATLAB: Eulers metod	Sauer comp.: 6.3.1	Projekt 1: U2

Övning 5, 4/4

Lösningsförslag: Ovning_5.pdf Download Ovning_5.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Obestämda koefficienter	Zill: 4.4.6, 4.4.33	Zill: 4.4.7, 4.4.35
Variation av parametrar	Zill: 4.6.11	Zill: 4.6.15
Teori för linjära system	Zill: 8.1.25	Zill: 8.1.5, 8.1.9, 8.1.17
Homogena linjära system	Zill: 8.2.13, 8.2.23, 8.2.39	Zill: 8.2.7, 8.2.21, 8.2.35

Övning 6, 6/4

Lösningsförslag: Ovning_6.pdf Download Ovning_6.pdf

MATLAB filer: EulerExplicit.m Download EulerExplicit.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Inhomogena linjära system	Zill: 8.3.13, 8.3.16	Zill: 8.3.9, 8.3.25
Stabilitetsvillkor Euler framåt	Se uppgiftstext nedan	Sauer: 6.6.1, Projekt 1, U3.

Uppgift Stabilitetsvillkor Euler framåt: Fastställ stabilitetsvillkoret på steglängden för Euler framåt tillämpat på systemet

$LaTeX: X\:'\:=\:AX$ $X\:'\:=\:AX$ , där $LaTeX: A\:=\:\binom{-11\:\:\:\:2\:}{-3\:\:-4}$ $A\:=\:\binom{-11\:\:\:\:2\:}{-3\:\:-4}$ ,

Implementera Euler bakåt och beräkna den numeriska lösningen i tiden LaTeX: T=2 $T=2$ med initialvillkor $LaTeX: X\left(0\right)=\left[4\:7\right]^T$ $X\left(0\right)=\left[4\:7\right]^T$ med både Euler framåt och Euler bakåt. Jämför de numeriska resultaten med $LaTeX: h=h_{\mbox{max}}$ $h=h_{\mbox{max}}$ och $LaTeX: h=h_{\mbox{max}}/10$ $h=h_{\mbox{max}}/10$ ( $LaTeX: h_{\mbox{max}}$ $h_{\mbox{max}}$ är tidssteget från stabilitetsgränsen för Euler framåt) mot analytisk lösning. Är de numeriska lösningarna stabila? Är de noggranna?

Övning 7, 19/4

Lösningsförslag: Ovning_7.pdf Download Ovning_7.pdf

MATLAB filer: sc_7_2_1.m Download sc_7_2_1.m, sc_7_2_1_konvergens.m Download sc_7_2_1_konvergens.m, sc_7_2_6.m Download sc_7_2_6.m, extrauppgift_ovning_7.m Download extrauppgift_ovning_7.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Randvärdesproblem	Zill: 4.1.11, 5.2.1, 5.2.29	Zill: 4.1.12, 5.2.2, 5.2.3, 5.2.30
Finita differensmetoden	Sauer comp.: 7.2.1, 7.2.6	Sauer comp.: 7.2.2, 7.2.3
	Se uppgiftstext nedan.

Uppgift: Diskretisera med finita differensmetoden och implementera RVP $y^{″} + 3 y^{'} + 2 y = 4 x^{2}$ $y''\:+\:3y'\:+\:2y\:=\:4x^2$ för $0 \leq x \leq 1$ $0\:\le x\le1$ med randvillkoren $y (0) = 9$ $y\left(0\right)\:=\:9$ , $y (1) = 3 + 2 e^{- 2}$ $y\left(1\right)\:=\:3+2e^{-2}$ . Använd centrala FD för första- och andra-derivatorna. Gör en konvergensstudie och beräkna felen i maxnorm och i $LaTeX: L^{2}$ $L^{2}$ -norm jämfört med den analytiska lösningen. Verifiera att noggrannhetsordningen blir som förväntat.

Övning 8, 20/4

Lösningsförslag: Ovning_8.pdf Download Ovning_8.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Autonoma system	Zill: 10.1.1, 10.1.2, 10.1.7, 10.1.9	Zill: 10.1.4, 10.1.5, 10.1.10, 10.1.15
Stabilitet för linjära system	Zill: 10.2.1a), 10.2.4a), 10.2.5a), 10.2.9, 10.2.17	Zill: 10.2.2a), 10.2.7a), 10.2.11, 10.2.13, 10.2.19

Övning 9, 21/4

Extra labbhandledning.

Övning 10, 26/4

Lösningsförslag: Ovning_10.pdf Download Ovning_10.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Stabilitet för icke-linjära system	Zill: 10.3.1, 10.3.7, 10.3.13, 10.3.17	Zill: 10.3.9, 10.3.15, 10.3.19, 10.3.21, 10.3.31

Övning 11, 28/4

Lösningsförslag: Ovning_11.pdf Download Ovning_11.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Ortogonala funktioner	Zill: 11.1.1	Zill: 11.1.3, 11.1.9, 11.1.12
Fourierserier	Zill: 11.2.5, 11.2.13	Zill: 11.2.7, 11.2.11
Cosinus- och sinus-serier	Zill: 11.3.7, 11.3.15	Zill: 11.3.9
Sturm-Liouville problem		Zill: 11.4.3

Övning 12, 4/5

Lösningsförslag: Ovning_12.pdf Download Ovning_12.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Separabla PDE	Zill: 12.1.3	Zill: 12.1.7, 12.1.9
Klassiska PDE och RVP	Zill: 12.2.5	Zill: 12.2.1
Värmeledningsekvationen	Zill: 12.3.1, 12.3.3	Zill: 12.3.5, 12.3.7
Vågekvationen	Zill: 12.4.5, 12.4.7	Zill: 12.4.3
Laplaces ekvation		Zill: 12.5.1

Övning 13, 5/5

Lösningsförslag: Ovning_13.pdf Download Ovning_13.pdf

MATLAB filer: sc_8_1_2a.m Download sc_8_1_2a.m, sc_8_1_2b.m Download sc_8_1_2b.m, sc_8_1_2.m Download sc_8_1_2.m, sc_8_1_4a.m Download sc_8_1_4a.m, sc_8_1_4b.m Download sc_8_1_4b.m, extrauppgifter_ovning13.m Download extrauppgifter_ovning13.m

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Finita differensmetoden för PDEer	Sauer: 8.1.2, Sauer comp.: 8.1.2, 8.1.4	Sauer: 8.1.1, Sauer comp.: 8.1.1
	Se uppgiftstexter nedan.

Uppgift 1: Studera värmeledningsekvationen $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\:t>0,\:0\le x\le1$ $\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2},\:t>0,\:0\le x\le1$ , med initialvillkor $LaTeX: u\left(x,0\right)=\cos\left(\pi x\right),\:0\le x\le1$ $u\left(x,0\right)=\cos\left(\pi x\right),\:0\le x\le1$ , och randvillkor $LaTeX: \frac{\partial u}{\partial x}\left(0,t\right)=0,\:\frac{\partial u}{\partial x}\left(1,t\right)=0.1t$ $\frac{\partial u}{\partial x}\left(0,t\right)=0,\:\frac{\partial u}{\partial x}\left(1,t\right)=0.1t$ för $LaTeX: t\ge0$ $t\ge0$ . Diskretisera ekvationen för ett godtyckligt antal, LaTeX: N $N$ , intervall i rummet. Använd centrala differenser för andraderivatan och framåt/bakåt-differenser för randvillkoren. Implementera med Euler framåt i tiden.

Uppgift 2: Utgå från Uppgift 1 och undersök stabiliteten (a) teoretiskt (beräkna egenvärden numeriskt). Vad blir $LaTeX: \Delta t_{\mbox{max}}$ $\Delta t_{\mbox{max}}$ för antal rumssteg LaTeX: M=10, 100, 1000 $M=10, 100, 1000$ ? och (b) numeriskt genom att köra kod och välja $LaTeX: \Delta t$ $\Delta t$ så att CFL-villkoret är uppfyllt/ej uppfyllt.

Övning 14, 9/5

Lösningsförslag: Ovning_15.pdf Download Ovning_15.pdf

Innehåll	Övningsuppgifter	Hemuppgifter
Fourierintegraler	Zill: 14.3.1, 14.3.7	Zill: 14.3.5
Fouriertransformer	Zill: 14.4.3, 14.4.6, 14.4.15	Zill: 14.4.2, 14.4.16

Övning 15, 12/5

Repetition, delvis baserat på uppgifter från gamla tentor.

Övning 16, 16/5

Repetition, delvis baserat på uppgifter från gamla tentor.