Kommentarer föreläsningar

Nedan finner ni kommentarer från föreläsningarna.

• Föreläsning 1, 17/1: De centrala begreppen i föreläsningen var minsta övre begränsning (supremum) samt största undre begränsning (infimum) av en delmängd av en en ordnad mängd. Vi definierade även vad det betyder för en ordnad mängd att ha supremumegenskapen. En essentiell skillnad mellan de rationella talen och de reella talen är att de reella talen har supremumegenskapen, men de rationella talen har inte det. Det faktum att de reella talen har supremumegenskapen ligger till grund för stor del av kursen. De avsnitt i boken som täcktes under föreläsningen var kapitel 1 t.o.m. Avsnitt 1.11.
• Föreläsning 2, 19/1: Föreläsningen började med en definition av begreppet kropp och av begreppet ordnad kropp. Därefter formulerades huvudresultatet i kapitel 1, nämligen existensen av de reella talen. Några konsekvenser noterades också, som t.ex. att det för varje reellt tal $x>0$ och varje heltal $n>0$ finns ett unikt reellt tal $y>0$ sådant att $y^{n}=x$. Vidare noterades att det mellan varje par av distinkta reella tal finns ett rationellt tal. Därefter introducerades det utvidgade reella talsystemet, de komplexa talen samt $\mathbb{R}^n$. Föreläsningen avslutades med en definition av de reella talen (som Dedekindsnitt), en definition av en ordning på de reella talen och ett bevis av att de reella talen har supremumegenskapen. Övriga delar av kapitel 1 lämnades till självstudier.
• Föreläsning 3, 23/1: Föreläsningen började med en diskussion av begreppet kardinalitet. Speciellt definierades vad det betyder att två mängder är ekvivalenta. Begreppen ändlig, uppräknelig samt överuppräknelig mängd introducerades även. Vi visade även att oändliga delmängder till uppräkneliga mängder är uppräkneliga, att uppräkneliga unioner av uppräkneliga mängder är uppräkneliga och skisserade ett bevis av att de reella talen är överuppräkneliga. Därefter diskuterade vi vikten av att abstrahera begreppet avstånd inom matematiken. Denna diskussion följdes av en formell definition av metriska rum. Relevanta motsvarande avsnitt i boken (för självstudier) är kapitel 2 fram till och med avsnitt 2.15.
• Föreläsning 4, 24/1: Föreläsningen började med en repetition av definitionen av ett metriskt rum samt grundläggande definitioner för delmängder av $\mathbb{R}^n$. Begreppet konvexitet introducerades även. Efter det introducerades och diskuterades grundläggande topologiska begrepp som omgivning, hopningspunkt, isolerad punkt, sluten mängd, inre punkt, öppen mängd, komplementet av en mängd, begränsad mängd, tät mängd, etc. Vi bevisade även några grundläggande resultat som att en delmängd till ett metriskt rum är öppen om och endast om dess komplement är slutet. Materialet svarar mot avsnitten 2.15-2.23 i boken.
• Föreläsning 5, 31/1: Föreläsningen började med ett bevis av att godtyckliga unioner av öppna mängder är öppna, att godtyckliga skärningar av slutna mängder är slutna, att ändliga skärningar av öppna mängder är öppna och att ändliga unioner av slutna mängder är slutna. Därefter introducerades begreppet slutet hölje. Vi bevisade att det slutna höljet är slutet; att en mängd är lika med sitt slutna hölje om och endast om den är sluten; och att om F är en sluten mängd som innehåller E så innehåller F även E:s slutna hölje. Vi visade även att supremum av en icke-tom och ovanifrån begränsad delmängd av de reella talen tillhör delmängdens slutna hölje. Om $Y\subset X$ visade vi även att U är öppen relativt Y omm $U=Y\cap G$ för en öppen delmängd G av X. Vi introducerade även begreppen öppen övertäckning och kompakt mängd. Avslutningsvis så visade vi att om $K\subset Y\subset X$ så är K kompakt relativt X omm K är kompakt relativt Y. Avslutningsvis så bevisade vi att kompakta delmängder till metriska rum är slutna. Materialet svarade mot avsnitt 2.24 till 2.34 i boken.
• Föreläsning 6, 2/2: Föreläsningen började med ett bevis av att slutna delmängder till kompakta mängder är kompakta, samt att om K är kompakt och S är sluten så är skärningen av K och S kompakt. Om $\{K_{\alpha}\}$ är en familj kompakta mängder sådana att skärningen av varje ändlig delsamling är icke tom, så bevisade vi även att $\cap_{\alpha}K_{\alpha}$ är icke tom. Därefter bevisade vi Heine-Borels sats. Vi formulerade även (och bevisade till del) resultatet att en mängd E är kompakt omm varje oändlig delmängd till E har en hopningspunkt i E. Slutligen formulerade och bevisade vi Bolsano-Weierstraß sats, d.v.s. att varje begränsad oändlig delmängd av $\mathbb{R}^n$ har en hopningspunkt i $\mathbb{R}^n$
• Föreläsning 7, 7/2: Föreläsningen började med definitionen av begreppet sammanhängande mängd. Vi formulerade även satsen att en delmängd av $\mathbb{R}$ är sammanhängande omm den är konvex. Detta avslutade kapitel 2. Avsnitt 2.44 utgår och avsnitt 2.43 är inte centralt. Vi påbörjade kapitel 3 med definitionen av konvergenta följder i allmäna metriska rum. Vi visade även att $x_n\rightarrow x$ omm varje omgivning till $x$ innehåller alla utom ändligt antal av elementen i följden. Vi diskuterade även gränsvärdet av produkten av konvergenta följder i $\mathbb{C}$ etc. Därefter introducerades begreppen delföljd och delföljdsgränsvärde. Vi visade även att följder i kompakta metriska rum har konvergenta delföljder. Nästa ämne var begreppen Cauchyföljd och fullständigt metriskt rum. Betydelsen av dessa begrepp i analys i allmänhet betonades. Vi visade att konvergenta följder är Cauchyföljder. Vi visade även att Cauchyföljder i kompakta metriska rum är konvergenta. Vi drog därav slutsatsen att $\mathbb{R}^n$ är ett fullständigt metriskt rum. Avslutningsvis definierade vi begreppen monotont växande/avtagande talföljd och formulerade satsen att monotona följder är konvergenta omm de är begränsade. Läs kapitel 3 till och med avsnitt 3.14.
• Föreläsning 8, 9/2: Föreläsningen började med en definition av vad det betyder att en följd av reella tal konvergerar mot plus eller minus oändligheten. Därefter definierade vi begreppen limsup och liminf. Vi gav även en alternativ karakterisering av limsup av en talföljd. Därefter diskuterade vi ett antal exempel på gränsvärden. Nästa ämne var serier. Vi började med att definiera begreppen konvergens och divergens. Vi formulerade även Cauchykriteriet för konvergens. Om termerna i serien är icke negativa noterade vi att konvergens är ekvivalent med att att följden av delsummor är begränsad. Därefter formulerade vi jämförelsekriterierna för konvergens och divergens. För att jämförelsekriterierna skall vara användbara behöver man något att jämföra med. Vi diskuterade därför geometriska serier och serien $\sum 1/n^p$ . För att avgöra konvergens/divergens för den senare serien bevisade vi att om $a_n$ är en avtagande följd icke-negativa tal så är $\sum a_n$ konvergent omm $\sum 2^k a_{2^k}$ är konvergent. Föreläsningen svarade mot materialet i Avsnitt 3.15 till och med 3.29 i boken.
• Föreläsning 9, 14/2: Föreläsninganteckningar. Download Föreläsninganteckningar.
• Föreläsning 10, 16/2: Föreläsningsanteckningar Download Föreläsningsanteckningar.
• Föreläsning 11, 21/2: Föreläsningen började med en diskussion av kontinuitet och sammanhang. Specifikt så bevisade vi att bilden av en sammanhängande mängd under en kontinuerlig funktion är sammanhängande. Detta medför i sin tur satsen om mellanliggande värden. Därefter diskuterade vi höger- och vänstergränsvärden samt monotona funktioner. Specifikt så bevisade vi att för monotona funktioner så existerar alltid höger- och vänstergränsvärdena. Vi visade även att en monoton funktion kan högst ha ett uppräkneligt antal diskontinuiteter. Därefter diskuterade vi deriverbarhet. Föreläsningen avslutades med ett bevis av kedjeregeln.
• Föreläsning 12, 23/2: Föreläsningen började med en diskussion av medelvärdessatser. Till att börja med definierade vi begreppen lokalt maximum och lokalt minimum. Vi visade även att om $f$ är en reellvärd funktion av en reell variabel som har ett lokalt max i $x$ (som tillhör det inre av funktionens definitionsområde) och om $f$ är deriverbar i denna punkt, så gäller att $f'(x)=0.$ Detta resultat använde vi sedan för att bevisa den generaliserade medelvärdessatsen (som även leder till medelvärdessatsen). Återstående delar av kapitel 5 lämnades till självstudier. Andra hälften av föreläsningen ägnades åt Riemann-Stieltjesintegralen. Vi definierade den och bevisade några grundläggande resultat. Materialet omfattade avsnitt 6.1 till och med 6.5 i boken.
• Föreläsning 13, 28/2: Föreläsningen började med ett bevis av Sats 6.7 (c) i boken. Därefter visade vi att kontinuerliga funktioner är integrerbara, att sammansättningen av en kontinuerlig funktion och att en integrerbar funktion är integrerbar, och Sats 6.17 i boken.
• Föreläsning 14, 1/3: Föreläsningen började med ett bevis av variabelbytesformeln. Därefter diskuterade vi allmäna egenskaper hos integralen, och gav bevis för några exempel. Vi visade även att om två funktioner är Riemann-Stieltjesintegrerbara på ett interval så är även produkten Riemann-Stieltjesintegrerbar; och att beloppet av en Riemann-Stieltjesintegrerbar funktion är Riemann-Stieltjesintegrerbar. Föreläsningen avslutades med tre resultat som relaterar derivatan och integralen. Föreläsningen avslutar kapitel 6. Avsnitt 6.23-6.27 utgår.
• Föreläsning 15, 20/3: Föreläsningen var en introduktion till funktionsföljder och funktionsserier. Vi definierade begreppen likformig och punktvis konvergens. Vi gav även en alternativ karakterisering av likformig konvergens (Cauchykriteriet för likformig konvergens). Givet detta alternativa kriterium härledde vi ett kriterium för likformig konvergens av serier (Weierstraß M-test). Det första resultatet vi bevisade angående byte av gränsvärdesordning var att om $f_n$är komplexvärda, $f_n\rightarrow f$ likformigt på en mängd $E\subset X$,  $x\in X$ är en hopningspunkt till $E$ och $f_n(t)\rightarrow A_n$då $t\rightarrow x$ så gäller att $\lim_{t\rightarrow x}\lim_{n\rightarrow\infty}f_{n}(t)=\lim_{n\rightarrow\infty}\lim_{t\rightarrow x}f_{n}(t).$Från denna observation drog vi slutsatsen att gränsfunktionen av en likformigt konvergent och komplexvärd funktionsföljd av kontinuerliga funktioner är kontinuerlig.
• Föreläsning 16, 22/3: Föreläsningen började med definitionen av det metriska rummet $(\mathscr{C}(X),d)$ för ett icke-tomt metriskt rum $X$. Vi bevisade att detta rum är fullständigt. Därefter diskuterade vi betydelsen av likformig konvergens för byte av ordning mellan operationerna att integrera och att låta $n\rightarrow\infty$. Vi diskuterade även relationen mellan likformig konvergens och byte av ordning mellan operationerna att derivera och att låta $n\rightarrow\infty.$Avslutningsvis definierade vi begreppet följdkompakt delmängd till ett metriskt rum. Vi observerade även att en delmängd $K$ till ett metriskt rum $X$ är kompakt omm den är följdkompakt.
• Föreläsning 17, 28/3: Föreläsningen började med ett bevis av påståendet att en punktvis begränsad följd komplexvärda funktioner på en uppräknelig mängd har en punktvis konvergent delföljd. Därefter införde vi begreppet ekvikontinuitet av en familj av funktioner. Vi noterade även (se uppgift 2.25 i boken) att kompakta delmängder till metriska rum är separabla. Givet dessa förberedelser bevisade vi att om $K$ är kompakt, om $f_{n}\in\mathscr{C}(K), n=1,2,3,...,$ och om $\{f_n\}$ är punktvis begränsade och ekvikontinuerliga på $K$, så har $\{f_n\}$ en likformigt konvergent delföljd. En direkt konsekvens av detta är ett kriterium som garanterar att en delmängd till $\mathscr{C}(K)$ är kompakt, nämligen att den är sluten, punktvis begränsad och ekvikontinuerlig. Föreläsningen avslutades med formuleringen av Stone-Weierstraß sats.
• Föreläsning 18, 30/3: Föreläsningen började med en allmän diskussion av hur man kan approximera funktioner. Därefter följde ett bevis av Weierstraß sats. Därefter diskuterade vi potensserier. Speciellt så bevisade vi att potensserier är oändligt kontinuerligt deriverbara i den omgivning som bestäms av konvergensradien.
• Föreläsning 19, 3/4: Föreläsningen började med observationen att en funktion som kan representeras av en potensserie med konvergensradie R>0 är oändligt deriverbar på (-R,R), och att det är tillåtet att derivera under summationstecknet. Vidare bestäms potensseriens koefficienter av derivatorna av funktionen för x=0. Efter det så diskuterade vi exponential- och logaritmfunktionerna. Vi började även diskutera de trigonometriska funktionerna.
• Föreläsning 20, 5/4: Föreläsningen började med en beräkning av derivatorna av sinus och cosinus och ett bevis av att cosinus har ett första nollställe efter noll, säg $x_{0}$. Vi definierade sedan $\pi:=2x_{0}$ och bevisade den väntade periodiciteten hos sinus och cosinus. Därefter bevisade vi att det för varje $z\in\mathbb{C}$ med $|z|=1$ finns ett unikt $t\in [0,2\pi)$ sådant att $E(it)=z$. Föreläsningen avslutades med ett bevis av algebrans fundamentalsats. Detta avslutar kapitel 8; avsnitten om fourierserier och om gamma funktionen utgår.
• Föreläsning 21, 17/4: Föreläsningen började med en repetition av delar av linjäralgebran. Fokus för föreläsningen låg emellertid på linjära avbildningar. Speciellt bevisade vi att en linjär operator på ett ändligtdimensionellt vektorrum är injektiv omm den är surjektiv. Därefter infördes rummet av alla linjära avbildningar mellan två vektorrum, och grundläggande egenskaper hos detta rum diskuterades. Vi införde även en norm på rummet av  linjära avbildningar från $\mathbb{R}^{n}$ till $\mathbb{R}^{m}$. Vi visade slutligen att denna norm ger upphov till en metrik. Materialet svarar mot kapitel 9 i boken till och med avsnitt 9.7.
• Föreläsning 22, 18/4: Föreläsningen började med ett bevis av att mängen av inverterbara linjära operatorer på $\mathbb{R}^{n}$ är öppen och att funktionen som tar en inverterbar linjär operator till motsvarande invers är kontinuerlig. Därefter definierade vi derivatan av en funktion från $\mathbb{R}^{n}$ till $\mathbb{R}^{m}$ och bevisade kedjeregeln.
• Föreläsning 23, 25/4: Föreläsningen började med en definition av de partiella derivatorna och en diskussion av relationen mellan existensen av partiella derivator och deriverbarhet. Därefter så bevisade vi att en deriverbar funktion på en öppen konvex mängd, säg $f:U\rightarrow\mathbb{R}^{m}$, sådan att $\|f'(x)\|\leq M$ för alla $x\in U$ har den egenskapen att $|f(x)-f(y)|\leq M|x-y|$ för alla $x,y\in U.$ Detta resultat följdes av ett bevis av att en funktion är kontinuerligt deriverbar i på en öppen mängd omm de partiella derivatorna existerar och är kontinuerliga på mängden. Slutligen så bevisade vi Banachs fixpunktssats.
• Föreläsning 24, 26/4: Föreläsningen bestod av en formulering och ett bevis av inversa funktionssatsen.
• Föreläsning 25, 3/5: Föreläsningen började med ett bevis av ett specialfall av implicita funktionssatsen. Därefter diskuterades högre ordningens derivator.
• Föreläsning 26, 4/5: Föreläsningen bestod av förberedelser för konstruktionen av Lebesguemåttet.