Kursöversikt

Vi kommer att stöta på flera viktiga och fundamentala delar av matematiken under kursen. Dessa kan uppskattningsvis sorteras in under fem titlar – men delarna är också väldigt sammanflätade.

Talteori och modulär aritmetik

Denna del handlar om heltal och dess egenskaper. Vi bekantar oss med största gemensamma delare, primtal, aritmetikens fundamentalsats och modulär aritmetik. För att beräkna största gemensamma delare, använder vi Euklides algoritm, vilket också används för att lösa diofantiska ekvationer av formen $ax + by = c$. Modulär aritmetik har många tillämpningar, inte minst för att beräkna kontrollsiffror och inom blockkedjeteknik. Vi kommer också prata om hur man representerar tal i olika talbaser, så som binära tal.

Induktion, mängdlära, funktioner

Induktion är ett kraftfullt verktyg för att bevisa matematiska påståenden. Induktionsbevis kommer i många skepnader och används inom alla delar av matematiken. Ett centalt begrepp inom matematiken är mängder. Vi kommer titta på mängdoperationer, så som snitt, union och komplement. Varje matematiskt objekt kan beskrivas med hjälp av mängder. För att sedan tala om relationer mellan mängder behöver vi funktioner, och deras egenskaper så som injektivitet och surjektivitet. Vi pratar också om bijektioner som vi speciellt kommer att ägna oss åt i avsnittet om permutationer. Även ekvivalensrelationer på mängder kommer diskuteras.

Kombinatorik och permutationer

I kombinatorik är den grundläggande frågan På hur många sätt kan något göras — att välja ut, sortera eller distribuera objekt. Speciellt kommer vi diskutera Stirlingtal och binomialkoefficienter, som är svaren på vissa av frågorna ovan.

Grupper, ringar och kroppar. Tillämpningar i kryptering.

I denna del av kursen bekantar vi oss med de mer abstrakta begreppen grupper, kroppar och ringar. Dessa matematiska strukturer återfinns bland matriser, heltal och funktioner. Viktiga begrepp är delgrupper, ordning, multiplikationstabell, cyklisk grupp och Lagranges sats. Vi pratar också om polynomringar och entydig faktorisering med extra fokus på Gaussiska heltal. Som en tillämpning av detta avsnitt, kommer vi att diskutera kryptering och speciellt RSA-kryptering som bygger på egenskaper hos heltal samt grupper.

Grafteori

En graf består av hörn och kanter. Detta abstrakta koncept kan användas för att modellera relationer, interaktioner eller sammankopplingar. Grafteori är en viktig abstraktion som ger ett gemensamt språk för många praktiska problem. Viktiga begrepp är grad, stig, cykel, Eulercykel, Hamiltoncykel, planär graf samt träd. Vi kommer även prata om kromatiska tal för grafer, vilket är en viktig grafinvariant. Fyrfärgssatsen är den mest kända satsen om kromatiska tal och färgläggning av grafer. Ett annat viktigt begrepp är matchningar samt Halls giftemålssats.