F3 - Ekvationslösning från Diofantos till Galois

Föreläsning 3

Datum: 31 augusti 2017

Föreläsare: Tam Vu

Ämne: Ekvationslösning från Diofantos till Galois

Beskrivning: Vem vi än är, var vi än går och vilken matematikkurs vi än läser verkar det som att lösning av ekvationer alltid får ett generöst utrymme. Låt oss titta på hur ekvationer behandlades från cirka år 200 efter Kristus till 1800-talet. På smörgåsbordet serveras även en dramatisk, blodig (ej bokstavligen) såpopera i renässansens Italien och en hårresande, ännu blodigare (högst bokstavligen) duell i julimonarkins Frankrike.

Litteratur:

Diophantus of Alexandria Links to an external site. och Abu Ja'far Muhammad ibn Musa Al-Khwarizmi Links to an external site.: Vissa anser att Diofantos är "algebrans fader", vissa andra tycker att titeln bör gå till al-Khwarizmi.

Figuren för kvadratkompletteringsmetoden som visas på sidan för al-Khwarizmi Links to an external site. ser annorlunda ut än den som jag ritade på föreläsningen. Detta är inte så konstigt med tanke på att al-Khwarizmi beskrev metoden i ord och vi själva översätter sedan hans beskrivning till geometriska former och moderna(re) notationer ($x^2$, $+$, $=$ etc.). 

Omar Khayyam Links to an external site.: Han löste tredjegradsekvationer genom att rita och låta olika kägelsnitt skära varandra på ett visst sätt, men trodde inte att det skulle gå att generellt lösa ekvationerna algebraiskt.

Quadratic, cubic and quartic equations Links to an external site.: Polynomekvationer av grad 2, 3 och 4.

Niels Henrik Abel Links to an external site. och Évariste Galois Links to an external site.: Abel och Galois bevisade oberoende av varandra att det är omöjligt att finna en exakt formel för att generellt lösa en femtegradsekvation (och därmed omöjligt att lösa polynomekvationer av ännu högre grader). Båda dog väldigt unga, fast av olika skäl.

Det möjliga och det omöjliga - glimtar från ekvationslösningens historia Links to an external site.: Exempel på en sammanfattning på svenska. Den dramatiska, konfliktfyllda såpoperan i renässansens Italien ingår. Notera att inte alla namnstavningar här är helt korrekta. Författarna skriver att "Antonio Maria Fiore" var svärson till Scipione del Ferro, vilket inte stämde. Svärsonen hette Annibale della Nave och var den som avslöjade för Cardano att Tartaglia inte var den första som löste tredjegradsekvationer allmänt.

De enastående matematikerna som nämndes under föreläsningen, i tur och ordning: Diofantos, Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi (latinsk stavning: Algorismi / Algoritmi), Omar Khayyam, Scipione del Ferro, Niccolò Fontana Tartaglia, Gerolamo Cardano / Girolamo Cardano, Lodovico Ferrari / Ludovico Ferrari, Niels Henrik Abel, Évariste Galois.

De viktiga matematiska skrifterna som nämndes under föreläsningen, i tur och ordning: Arithmetika av Diofantos, Algebra (kommer av arabiskans al-jabr = الجبر) av al-Khwarizmi, Ars Magna av Cardano.

Tentaguide: Till tentamen behöver ni inte memorera alla detaljer i den italienska såpoperan. Det är viktigare att komma ihåg sådana saker som matematikerna bakom lösningen för tredje- och fjärdegradsekvationer, varför det uppstod en hätsk konflikt (vad de bråkade om) och hur ämnet (ekvationslösning) bedrevs vidare av andra matematiker under senare perioder.

Ni behöver inte heller stava alla namn helt korrekt och perfekt, men försök! Det ska gå att förstå vilka matematiker ni syftar på. Att kalla Eukleides för "Euler" är knappast en felstavning...