Lokal hemsida för Informationsteknik

Hej och välkommen!

Denna lilla lokala hemsida är avsedd för de kursdeltagare som följer föreläsningar, övningar och seminarier vid KTH Kista, framför allt Informationsteknik-studenter.

Föreläsare: Tam Vu (även känd som Tâm Vũ), tamv@kth.se

Seminarieledare: Tommy Ekola (grupp 1), tek@kth.se

Gaël Perez (grupp 2), gaelp@kth.se

Några viktiga länkar

Litteratur: Vi kommer naturligtvis inte att behandla allt som ingår i boken. Se sidan för relevanta avsnitt. En lista med errata (tryckfel) i boken finns här.

Moduler: Kursen är indelad i sex moduler. Till varje modul har vi tre eller fyra föreläsningar, en eller två övningar, och ett seminarium.

Seminarier: Läs noga så att du verkligen förstår reglerna kring seminarierna. Seminarieuppgifterna kan hämtas från sidan Moduler, som PDF-filer vid namn "bladX", där X är något heltal inom intervallet [1, 6].

Tidigare tentamina: Ett gäng tentor med gamla examinationsuppgifter att öva på. Längst ned på samma sida finns ett kompendium som sammanställer gamla tentor och gamla kontrollskrivningar, med lösningsförslag, samt en kompakt ordlista.

Allmän information om tentamen finns här.

FAQ: Här listas några ofta förekommande frågor. Om du upplever problem eller har frågor kring kursen kan listan vara till hjälp.

Studieverktyg

Inte en enda vecka under kursens gång slipper vi räkna med matriser. Utöver studenters bästis (och skyddsängel) WolframAlpha Links to an external site. kan Matrix calc Links to an external site.och Reshish Links to an external site. underlätta plugget. Missbruka inte sidorna bara. Du kommer ändå att behöva göra allt själv på tentan.

Stukan

Till varje föreläsning finns det en PDF-fil med några grundläggande uppgifter som studenter kan arbeta med för att reflektera över vad varje föreläsning i stort sett behandlar. För enkelhets skull kallas dessa filer i fortsättningen "Stukan".

Naturligtvis kan dessa uppgifter inte täcka alla möjliga tentafrågor, men om du klarar dessa uppgifter och verkligen förstår vad du gör och kan komma ihåg teknikerna länge, kommer du att ha en mycket god chans att klara tentan i januari.

Modul 1: Linjära ekvationssystem: Stukan 1 Ladda ner Stukan 1

, Stukan 2 Ladda ner Stukan 2, Stukan 3 Ladda ner Stukan 3, Stukan 4 Ladda ner Stukan 4
Modul 2: Geometri: Stukan 5 & 6 Ladda ner Stukan 5 & 6, Stukan 7 & 8 Ladda ner Stukan 7 & 8
Modul 3: Baser, abstrakta vektorrum och dimension: Stukan 9 Ladda ner Stukan 9, Stukan 10 Ladda ner Stukan 10, Stukan 11 Ladda ner Stukan 11, Stukan 12 Ladda ner Stukan 12

Modul 4: Linjära avbildningar och matriser: Stukan 13 Ladda ner Stukan 13, Stukan 14 Ladda ner Stukan 14, Stukan 15 Ladda ner Stukan 15

Anmärkning: Vid Föreläsning 15 lade jag vikt på bland annat hur vi kan bestämma avbildningsmatriser med avseende på olika baser (med hjälp av diagram och räkneregler) men glömde nämna definitionen för avbildningsmatris med avseende på en viss bas B. Se denna Stukan 15 - Extra Ladda ner Stukan 15 - Extra

för en anmärkning och ett belysande exempel.

Modul 5: Determinanter och egenvektorer: Stukan 16 Ladda ner Stukan 16

, Stukan 17 Ladda ner Stukan 17, Stukan 18 Ladda ner Stukan 18

Anmärkning: Här är den utlovade Stukan 18+ Ladda ner Stukan 18+

om en viktig tillämpning av diagonalisering, nämligen beräkning av matrispotenser

A^{m}

$A^m$ . Som vanligt finns det både grundliga förklaringar, belysande exempel och relevanta tentamensuppgifter.

Modul 6: ON-baser, MK-metoden och Q-former: Stukan 19 Ladda ner Stukan 19

, Stukan 20 Ladda ner Stukan 20, Stukan 21 Ladda ner Stukan 21

Föreläsningar och övningar - Innehåll och läsanvisning

Sidan uppdateras löpande. Besök lite då och då och se vad som lagts till.

Se detta färggranna schema Links to an external site. för tiderna.

========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ==========

Sista vecka: The league of extraordinary vector spaces

Föreläsning 22: Repetition med grundläggande uppgifter för de stabila betygen E-C.

PowerPoint-slides: F22 Ladda ner F22

(obs! ej föreläsningsanteckning)

Några roliga tillämpningar av den linjära algebran Ladda ner Några roliga tillämpningar av den linjära algebran

(bredvidläsning, ej ett absolut krav på tentamen)

Övning 13: Utfrågning och blandade problem med Tâm.

Föreläsning 23: Repetition med svårare uppgifter för de tjusiga betygen C-A.

PowerPoint-slides: F23 Ladda ner F23

(obs! ej föreläsningsanteckning)

Föreläsning 24: The end.

PowerPoint-slides: F24 Ladda ner F24

(obs! ej föreläsningsanteckning)

Övning 14: Utfrågning och blandade problem med Tâm.

Fridens liljor! :-)

========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ==========

Modul 6: Ortonormalbaser, minsta kvadratmetoden och kvadratiska former

Föreläsning 19: 7.1: Ortonormalbaser och ortogonala matriser; 7.2: Projektioner och Gram-Schmidt-ortogonaliseringsprocess (eventuellt ortonormeringsprocess).

Föreläsning 20: 7.1 och 7.2: Eventuell rest; 7.3: Minsta-kvadrat-metoden.

Här är en PDF-motsvarighet Ladda ner PDF-motsvarighet

till PowerPoint-presentationen om varför transponatknepet fungerar vid bestämning av minsta-kvadrat-lösningen. Tips på två tentauppgifter ingår.

Notera Anmärkning på sida 16. Jämför gärna lösningsförslagen till uppgift 4 (b) från tentamen 2011-01-10 respektive uppgift 5 (b) från tentamen 2014-01-13.

Övning 11: 7.1: A2 (ab); 7.2: A1 (ab), A2 (ac), A3 (ac); 7.3: A1 (a), A2 (a)
Tentamen: 2015-01-19 #3, 2016-06-09 #2, 2016-01-13 #4, 2014-03-14 #4 (ab), 2015-10-23 #4
2015-03-13 #4, 2015-06-10 #5 (a), 2016-10-21 #2

Föreläsning 21: 8.1: Symmetriska matriser och ortogonal diagonalisering; 8.2: Kvadratiska former.

Övning 12 (ej schemalagd): 8.1: A2 (ad); 8.2: A1, A3 (abc)
Tentamen: 2016-03-17 #3, 2013-03-11 #7, 2015-06-10 #6, 2016-01-13 #8, 2014-05-20 #9, 2013-01-07 #7, 2012-10-16 #7

Anmärkning: 1. Att klassificera en symmetrisk matris med avseende på definithet är detsamma som att klassificera den motsvarande kvadratiska formen med avseende på definithet.

2. Uppgifter om symmetriska matriser och ortogonal diagonalisering är i princip ganska svåra och är mest för de studenter som siktar på riktigt höga betyg.

Seminarium 6

========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ==========

Modul 5: Determinanter och egenvektorer

Föreläsning 16: 5.1-5.2: Determinanter.

Övning 9: 5.1: A3; 5.2: A1
Tentamen (lagom svår): 2011-10-17 #3, 2011-03-16 #4, 2014-01-13 #2, 2015-06-10 #2, 2016-10-21 #4
Tentamen (väldigt svår): 2012-01-09 #8, 2015-03-13 #9, 2015-10-23 #8, 2016-01-18 #7

Föreläsning 17: 5.4: Determinanter; 6.1: Introduktion till egenvärden och egenvektorer.

Föreläsning 18: 6.1: Egenvärden och egenvektorer; 6.2: Diagonalisering; 6.3: Exempel 1: Att beräkna $A^{m}$ $A^{m\:}$ .

Övning 10: 5.4: A1, 6.1: A1, A2 (ab), A3 (abde); 6.2: A1 (ab), A2 (acde)
Tentamen (lagom svår): 2013-06-04 #3, 2013-10-28 #3, 2016-03-17 #2, 2013-01-07 #3, 2013-03-11 #3, 2016-01-13 #3, 2017-03-13 #4
Tentamen (väldigt svår): 2012-10-16 #5, 2012-12-13 #8, 2016-03-17 #6

Seminarium 5

========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ==========

Modul 4: Linjära avbildningar och matriser

Föreläsning 13: 3.2: Matrisavbildningar, linjära avbildningar (eng. linear mappings); 3.3: Rotationer (synonym: vridningar) och reflektioner (synonym: speglingar).

Föreläsning 14: 3.4: Lösningsrum, nollrum vs. kärna (eng. kernel) & kolonnrum vs. värderum (eng. range) (behandlades delvis under Föreläsning 11), radrum, rangsatsen (eng. rank theorem, även känd som dimensionssatsen); 3.5: Inversa matriser, inversa avbildningar, satsen om inverterbara matriser (eng. invertible matrix theorem).

Övning 7: 3.2: A2, A6; 3.3: A1, A3, A4; 3.4: A6 (ab); 3.5: A1 (abc)
KS 2: 2011-09-26 #2, 2011-10-27 #2, 2011-11-09 #2, 2012-02-06 #3

Föreläsning 15: 4.5: Linjära avbildningar mellan allmänna vektorrum; 4.6: Avbildningsmatrisen med avseende på olika baser.

Övning 8 (ej schemalagd): 4.5: A3 (abc); 4.6: A7 (abc)
Tentamen: 2016-01-13 #2, 2011-03-16 #2, 2015-06-10 #3, 2015-03-13 #2, 2011-01-10 #2, 2012-03-12 #6

Seminarium 4

========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ==========

Modul 3: Baser, abstrakta vektorrum och dimension

Föreläsning 9: 1.2 och 2.3: Linjärt beroende, linjärt oberoende, linjärt hölje (eng. span) och basbegreppet; 4.3: Baser och dimension.

Anmärkning: Vi följer inte boken i numerisk ordning. En bra ordning är den som på ett lämpligt sätt binder samman relevanta begrepp.

Föreläsning 10: 4.2: Abstrakta vektorrum (mer än bara $R^{2}$ $\mathbb{R}^2$ , $R^{3}$ $\mathbb{R}^3$ och $R^{n}$ $\mathbb{R}^n$ ) och delrum.

Övning 5: 1.2: A4; 2.3: A5, A7; 4.3: A1, A3; 4.2: A1
KS 2: 2011-09-26 #3, 2011-10-27 #3, 2012-02-13 #2, 2012-09-24 #3
Tentamen: 2013-10-28 #2 (a)

Föreläsning 11: 3.1: Matriser och matrisoperationer; 3.4: Nollrum (eng. nullspace) och kolonnrum (eng. columnspace) (observera att ej hela avsnittet 3.4 ingår denna vecka)

Föreläsning 12: 4.4: Koordinatbyte, basbytesmatris (synonym: övergångsmatris).

Övning 6: 3:1: A1, A2, A8; 4.4: A1, A2
KS 2: 2012-02-13 #3
Tentamen: 2013-03-11 #2, 2014-10-29 #2, 2014-10-29 #5, 2015-10-23 #5

Seminarium 3

========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ==========

Modul 2: Geometri

Föreläsning 5: 1.1-1.2: Ekvationer för linjer och plan i $R^{2}$ $\mathbb{R}^2$ , $R^{3}$ $\mathbb{R}^3$ och $R^{n}$ $\mathbb{R}^n$ (framför allt på parameterform / vektorform); 2.1: Linjer och plan som lösningsmängder till ekvationssystem.

Föreläsning 6: 1.3: Vektornorm och skalärprodukt; 1.4: Projektion och minsta avstånd.

Övning 3: 1.1: A7, A8, A9; 1.3: A1 (abc), A2 (ace), A5 (ac), A6 (ac); 1.4: A1 (ace), A5 (ac)
Tentamen: 2014-10-29 #1 (samma strategi som för avståndet mellan en punkt och en rät linje i planet), 2013-03-11 #1

Föreläsning 7: 1.3: Planets ekvation på skalärform. Flera avståndsproblem.

Föreläsning 8: 1.5: Kryssprodukt och volym. Studentaktivitet. Några utmanande tentaproblem.

Övning 4: 1.3: A7(a), A9, A10; 1.4: A6 (ac); 1.5: A1 (ace), A3 (ad), A4 (a), A5 (a), A6 (a), A7 (ab), A8
Tentamen: 2014-01-13 #1, 2015-10-23 #1, 2015-06-10 #1, 2014-05-20 #1, 2014-03-14 #1, (lite svårare) 2012-03-12 #5

Seminarium 2

========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ========== ❦ ==========

Modul 1: Linjära ekvationssystem

Föreläsning 1: 2.1: Linjära ekvationssystem, Gauss-elimination, matrisrepresentation, trappstegsform (eng. row echelon form), de tre lösningstyperna.

Eftersom ni har läst baskursen SF1689 vet ni nog redan väldigt bra hur vi räknar med vektorer i planet och rummet (synonym: rymden). Jag kan lätt påminna er om räknelagarna på föreläsningen men det vore roligare om ni i förväg kunde övertyga er om att följande är sanna:

Exempel 1: Om $t$ $t$ är en (reell) konstant kan vi göra vektoradditionen

$[\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix}] + t [\begin{matrix} 5 \\ 2 \\ - 3 \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 \\ - 1 \\ 4 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 5 t \\ 2 t \\ - 3 t \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 + 5 t \\ - 1 + 2 t \\ 4 - 3 t \end{matrix}]$ $\begin{bmatrix}2 \\-1 \\4 \end{bmatrix} + t \begin{bmatrix}5 \\2 \\-3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2 \\-1 \\4 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}5t \\2t \\-3t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}2+5t \\-1+2t \\4-3t \end{bmatrix}$

Exempel 2: Vi kan lika gärna gå åt andra hållet, nämligen dela upp en (någorlunda jobbig) vektor i två vektorer, varav en som innehåller $t$ $t$ och en som inte innehåller $t$ $t$ .

$[\begin{matrix} 5 + 3 t \\ 6 \\ 2 - t \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}] + [\begin{matrix} 3 t \\ 0 \\ - t \end{matrix}] = [\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 2 \end{matrix}] + t [\begin{matrix} 3 \\ 0 \\ - 1 \end{matrix}]$ $\begin{bmatrix}5+3t \\6 \\2-t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\6 \\2 \end{bmatrix}+ \begin{bmatrix}3t \\0 \\-t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5 \\6 \\2 \end{bmatrix}+t \begin{bmatrix}3 \\0 \\-1 \end{bmatrix}$

Föreläsning 2: 2.2: Reducerad trappstegsform (eng. reduced row echelon form), Gauss-Jordan-elimination, rang, homogena system.

Övning 1: 2.1: A3, A5; 2.2: A3, A5
KS 1: 2011-12-08 #1, 2010-11-29 #1, 2011-10-14 #1, 2012-01-30 #1, (lite svårare) 2010-09-13 #1

Ovan är endast några rekommenderade uppgifter. Du bestämmer själv hur mycket du vill arbeta med kursmaterielen. Tips: Det är bra att räkna i boken för grundläggande förståelse. För att lättare kunna klara tentan bör du med jämna mellanrum även titta på gamla KS- och tentauppgifter och bilda en ungefärlig uppfattning om vilka som är typiska frågeställningar (samt hur svåra de kan vara).

Föreläsning 3: 1.1: Vektorer i $R^{2}$ $\mathbb{R}^2$ och $R^{3}$ $\mathbb{R}^3$ (utom linjer som tillhör Modul 2); 1.2: Vektorer i $R^{n}$ $\mathbb{R}^n$ , linjärkombination, linjärt hölje (på engelska: span, på svenskt talspråk: spann).

Observera att inte hela avsnittet 1.2 behandlas denna vecka.

Här är det otroligt viktigt att du verkligen lär dig vad "linjärkombination" och "span(n)" faktiskt innebär. Många, många gånger senare i kursen återkommer dessa begrepp. Beräkningar i kursen är i sig enkla. Det är att kunna begreppen som är det knepiga.

Föreläsning 4: 1.2: Vektorrum, delrum. Några spännande tentauppgifter som berör det vi hittills diskuterat.

Övning 2: 1.1: A1, A5; 1.2: A1, A2
Tentamen: 2011-10-17 #2b (men inte 2a), 2011-06-09 #1, 2012-03-12 #1, 2013-01-07 #1
Eventuellt problem från Övning 1 som träning inför Seminarium 1

Om du tycker att tentauppgifterna är lite för svåra, lägg mer fokus på enklare examinationsuppgifter såsom gamla KS-uppgifter istället.

Seminarium 1