Uppgift 1

I denna uppgift ska du skriva ett program i Python som gör följande.

Vi ska jobba med en funktion på formen f(x)= 2**(ax+b) -c ,

där a, b och c är konstanter.

Programet ber användaren ange tre tal separerade med mellanslag. Dessa tre tal skall bli våra a, b och c (glöm inte göra om dem till float).

Programmet ska

1) Skissa grafen av funktionen f(x) med dessa a, b och c.

2) Ange formeln för inversfunktionen till f(x) (jag betecknar den här för f^{-1} (x) ).

3) Ange definitionsmängden för f^{-1} (x)

4) Skissa grafen av f^{-1} (x) på samma bild som f(x).

5) Skissa även linjen y=x i samma bild. Vad märker du?

6) Skriv kommentarer i koden.

För att skriva programmet använd materialet från Labb1 och Labb2.

Du får INTE låta AI skriva ditt program!

Du får däremot söka information om hur olika kommandon i Python fungerar i en valfri källa (fast det borde räcka med de kommandon som du har lärt dig i labbarna innan.)

Uppgift 2

Denna uppgift ska hjälpa oss illustrera komplexa tal som kommer i modul 7. Här tänker vi på komplexa tal som vektorer i planet.

Följande program tar två komplexa tal som input från användaren, beräknar deras summa, skillnad och konjugat av den första; sedan illustrerar alla de nämnda vektorerna. Observera att det är väldigt bra att skala bilden så att alla vektorer får plats och inte blir för små. Titta på hur det är gjort!

I uppgiften ska du:

1) Läsa koden nedan;

2) Låta programmet beräkna även skillnad av de givna vektorerna och konjugatet av z1 (se boken för definition);

3) skriva en bra Legend (markera alla vektorer på bilden).

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

# --- Input ---

re1,im1 = input("Ange realdelen x och imaginärdelen y separerade med mellanslag \n").split()

x1 = float(re1)

y1 = float(im1)

re2,im2 = input("Ange ett till komplext tal på samma sätt (realdelen och imaginärdelen separerade med mellanslag) \n").split()

x2 = float(re2)

y2 = float(im2)

print(f"Dina komplexa tal är z1 = {x1} + {y1} i och z2 = {x2} + {y2} i ") 

# --- Rita upp ---

plt.figure(figsize=(6,6))

plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8) # x-axel

plt.axvline(0, color='black', linewidth=0.8) # y-axel

# Ritar pilar från origo till (x1,y1) och från origo till (x2,y2)

plt.quiver(0, 0, x1, y1, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='blue',label='z1') 

plt.quiver(0, 0, x2, y2, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='green',label='z2')

# Nästa rad illustrerar (z1+z2), dvs ritar en pil från origo till (x1+x2,y1+y2) 

plt.quiver(0, 0, x1+x2, y1+y2, angles='xy', scale_units='xy', scale=1, color='red',label='z1+z2')

# Uppgift: ritar även en pil som illustrerar (z1-z2) och en som illustrerar konjugat av z1

plt.xlim(min(-1, x1-1, x2-1, x2-1,x1+x2-1), max(1, x1+1, x2+1, x1+x2+1)) # Skalar axlarna. Prova kommentera bort dessa rader och se vad som händer.

plt.ylim(min(-1, y1-1, y2-1, y2-1,y1+y2-1), max(1, y1+1, y2+1, y1+y2+1))

#Glöm inte göra ändringar i skalningen ovan för att alla dina vektorer skall få plats med vackra marginaler.

plt.xlabel('Re')

plt.ylabel('Im')

plt.title(f'Operationer med komplexa tal') 

#Lägg till en Legend (som vi har gjort i Labb2)

plt.grid(True) #ritar ...? Försök kommentera bort!

plt.show()

Uppgift 3

I kursen lär vi oss lösa vissa speciella trigonometriska ekvationer exakt. Men många ekvationer kan vi inte lösa exakt, och då använder man sig av numeriska metoder för att få en approximativ lösning. Den enklaste metoden för att göra detta är så-kallad Intervall_halverings_metoden. Jag kommer att berätta lite om den på föreläsningen. Du kan även läsa om den i en valfri källa.

I denna uppgift ska du lära dig läsa en lite längre given kod och modifiera den för dina syften. För att redovisa denna uppgift måste du kunna svara på frågor om varje rad av denna kod.

Koden använder intervallhalveringsmetoden för att lösa en ekvation f(x)=0. (I denna kod har vi f(x)= cos(x)-x ).

1) Vi börjar med att testa metoden genom att lösa ekvationen x**2 - x - 6=0 .

a) Lös ekvationen analytiskt.

b). Modifiera koden nedan för att lösa samma ekvation numeriskt.

c). Ange olika startintervall (till exempel, en som bara innehåller den minsta av lösningarna, sedan en som innehåller den största av lösningarna).

Vad är det som händer?

d). Jämför den rot du har fått numeriskt med den exakta roten. Hur stor är skillnaden? Är denna skillnad mindre än "tol"? Prova ändra på "tol". Vad händer?

2. Använd metoden för att lösa ekvationen 2**x - x = 3 .

Skissa funktionen först och avgör hur många lösningar du kommer att ha. Välj en passande första intervall.

import numpy as np

import matplotlib.pyplot as plt

import sys

# Definiera funktionen

def f(x):

    f = np.cos(x)-x

    return f

def plot_intervall(a,b,c,x, iteration,final = False):

    # --- Rita graf och intervall ---

    plt.clf()

    plt.plot(x, f(x), 'b-', label="f(x)")

    plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)

    plt.axvline(a, color='red', linestyle='--', label="a")

    plt.axvline(b, color='green', linestyle='--', label="b")

    plt.axvline(c, color='purple', linestyle=':', label="c (mittpunkt)")

    plt.title(f"Iteration {iteration}")

    plt.legend()

    if final:

        plt.text(c, 0.5, f"Rot ≈ {c:.6f}", color="purple")

        plt.ioff() # Slå av interaktivt läge för plotten

        plt.show()

    else:

        plt.show(block=False)

        plt.pause(1.5) # vänta 1.5 sekund mellan iterationerna

x = np.linspace(-10,10,1000)

plt.ion() # Slå på interaktivt läge för plotten (programmet forsätter med plotten öppen)

plt.plot(x, f(x), 'b-', label="f(x)")

plt.axhline(0, color='black', linewidth=0.8)

plt.show()

a = float(input('Ge vänstra intevallpunkten: '))

b = float(input('Ge högra intervallpunkten: ')) 

if f(a)*f(b) >= 0:

    print('Koden stoppas! f(a) och f(b) måste ha olika tecken')

    sys.exit()

tol = 1e-10 # Här bestämmer vi oss för ett litet tal (namnet kommer från "toleransen") 

#sådan att om intervallet [a,b] som innehåller roten blir mindre än tol, 

#så ska vi sluta räkna, och ange mitten av intervalet som ett tillräckligt bra approximation till roten.

iteration = 0

plotmax = 10

while (b-a)/2 > tol: 

    iteration += 1

    c = (a+b)/2

    if iteration <= plotmax:

        plot_intervall(a,b,c,x,iteration) # Ritar upp intervallen de första 10 interationerna

    if f(c) == 0: # Roten funnen

        print('x = ', c)

        break

    elif f(a)*f(c) < 0: # a och c är det nya intervallet

        b = c

    else: # c oxh b ör det nya intervallet

        a = c

print('x = ', (a+b)/2 ) # mittpunkten på intervallet är en approximation till roten

print('Efter antal interationer: ',iteration)

plot_intervall(a,b,c,x,iteration,final = True)